یافتن $4 $عدد $a,b,c,d$ به طوریکه $a+b=c+d$

Question

مجموعه ی $ A $ از عددهای طبیعی تشکیل شده است و می دانیم در میان هر $100 $ عدد طبیعی متوالی، عضوی از $ A$ پیدا می شود. ثابت کنید می توان چهار عدد مختلف مانند $ a, b, c, d $ در مجموعه $ A$ پیدا کرد به طوری که $a+b=c+d $

Answer 1

چون $ A \subseteq N $ لذا میتوان اعضای مجموعه ی $ A $ را مرتب کرد فاصله ی هر دو عضو متوالی از $ A $ از 100 کمتر است چون اگر بیشتر باشد بین آن دو حداقل $100$ عدد طبیعی وجود دارد اما عنصری از $A $ وجود ندارد.

چون تعداد عناصر $ A $ نامتناهی است و مقدار تفاضلات متناهیه، لذا حداقل مقدار دو تا از این تفاضلات برابر هستند فرض کنید داشته باشیم: $$ b_{1} - a_{1}= b_{2} - a_{2} \Rightarrow b_{1} +a_{2}= b_{2} + a_{1}$$

Comments

در فرض مسئله اشاره ای به نا متناهی بودن مجموعه نکرده. اگه متناهی باشه چی؟؟

---

همین که گفته در هر $100$ عدد طبیعی متوالی عضوی از $A$ وجود دارد یعنی نامتناهی است.
اگر بگوید $A$ متناهی است شرایط سوال فراهم نمیشود چون میتوان $100$ عدد طبیعی متوالی یافت که عضوی از $A$ درشون وجود ندارد.(بزرگترین عضو $A$ را در نظر میگیریم $100$ عدد بزرگتر از اون مثال تقض میشود)