محاسبه کردن سینوس 18 درجه به کمک مثلث متساوی الساقین

Question

در مثلث متساوی الساقین $\mathop {ABC}\limits^\Delta $ به راس $\hat A = 36$ و $AB=AC=1$. ارتفاع وارد بر ضلع $BC$ و نیمساز زاویه ${\hat C}$یعنی $CD$ را رسم میکنیم. واضح است که دو مثلث $\mathop {ABC}\limits^\Delta$ و $\mathop {CBD}\limits^\Delta$ با هم متشابه هستند. حالا با توجه به این شرایط چگونه میتوان $ \sin(18)$ را بدست آورد؟

Answer 1

همانطور که از شکل پیداست مثلث $ \triangle ABC $ با مثلث $ \triangle BDC$ متشابه است

چرا ؟ (برابری سه زاویه ) در نتیجه خواهیم داشت :

$$\dfrac{x}{y}=\dfrac{y-x}{x}$$ $$y^2-xy-x^2=0$$

معادله درجه دو برحسب $y$ داریم که با حل آن :

$$y=\dfrac{x\pm \sqrt{x^2-4(-x^2)}}{2}=\dfrac{x\pm x\sqrt5}{2}=\dfrac{x(1\pm\sqrt5)}{2}$$

اما چون طول همواره مثبت است فقط یک حالت داریم :

$$y=\dfrac{(\sqrt5+1)x}{2}$$

از خاصیت مثلث متساوی الساقین که ارتفاع و نیمساز و عمود منصف نظیر قاعده باهم برابر هستند استفاده میکنیم . خواهیم داشت : : با توجه به شکل خواسته سوال را بدست میاوریم $$\sin 18^ \circ =\dfrac{\dfrac{x}{2}}{y}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$