به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
394 بازدید
در دانشگاه توسط mehrdad2016

تابع مشخصه ی یک مجموعه مانند A اندازه پذیر است اگر و تنها اگر A اندازه پذیر باشد.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina

فرض کنید $\chi_A$ تابعی اندازه پذیر باشد پس مجموعه ی $\chi_A^{-1}(\{1\})$ اندازه پذیر است چون مجموعه $\{1\}$ اندازه پذیر است. اما $ \chi_A^{-1}(\{1\})=A $

برعکس فرض کنید $A$ اندازه پذیر باشد پس $A^c$ نیز اندازه پذیر است. حال کافی است نشان دهید برای هر $a\in\mathbb R$ مجموعه $\{x:\chi_A(x)\leq a\}$ اندازه پذیر است اما این مجموعه می تواند یکی از مجموعه های $A,A^c,X,\emptyset$ باشد که در هر صورت اندازه پذیر است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...