فرض کنید $\chi_A$ تابعی اندازه پذیر باشد پس مجموعه ی
$\chi_A^{-1}(\{1\})$ اندازه پذیر است چون مجموعه $\{1\}$ اندازه پذیر است. اما $ \chi_A^{-1}(\{1\})=A $
برعکس فرض کنید $A$ اندازه پذیر باشد پس $A^c$ نیز اندازه پذیر است. حال کافی است نشان دهید برای هر $a\in\mathbb R$ مجموعه $\{x:\chi_A(x)\leq a\}$ اندازه پذیر است اما این مجموعه می تواند یکی از مجموعه های $A,A^c,X,\emptyset$ باشد که در هر صورت اندازه پذیر است.
