فرمول طول قوس برای خم $y=f(x)$ به صورت زیر است
$$\int_a^b\sqrt{1+(y'_x)^2}dx$$
پس اگر قرار دهیم $y=\sqrt{a^2-x^2}$ که فرمول قسمت بالای دایره ی به شعاع $a$ و مرکز مبدا مختصات است داریم:
$$y'_x=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
بنابراین:
$$\require{cancel}\begin{align}\int_{-a}^a\sqrt{1+\frac {x^2}{a^2-x^2}}dx&=\int_{-a}^a\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2}}dx\\
&=\int_{-a}^a\frac{|a|dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\\
&\stackrel{a>0}{=}\int_{-a}^a\frac{adx}{\sqrt{a^2(1-(\frac xa)^2}}\\
&=\int_{-a}^a\frac{adx}{|a|\sqrt{1-(\frac xa)^2}}\\
&\stackrel{a>0}{=}\int_{-a}^a\frac{\cancel adx}{\cancel a\sqrt{1-(\frac xa)^2}}\\
&=a\arcsin(\frac xa)|_{-a}^a\\
&=a\arcsin 1-a\arcsin -1\\
&=a(\frac \pi2)-a(\frac{-\pi}2)\\
&=a\pi\end{align}$$
اما این فقط محیط قسمت بالای دایره بود. بنابر تقارن موجود محیط کل دایره برابر است با دوبرابر این مقدار یعنی $2a\pi$
