مجموعهٔ عددهای طبیعی ۱ تا ۱۳۶۱ را به ۳ زیرمجموعهٔ ناتهی به گونه ای افراز کنید که هیچ دو عدد متوالی ای در یک مجموعه قرار نگیرند.

Question

چگونه می‌توان مجموعهٔ ${1,2,3,\dots ,1361}$ را به سه زیرمجموعهٔ ناتهی افراز کرد به طوری که هیچ دو عدد متوالی در یک مجموعه نباشند؟

جواب: $2^{1359}-1$

ولی من هر جور حساب می‌کنم یه ضریب $3$ هم برای عضو اول می‌آورم. می‌شه لطفا راهنمایی کنید.

Comments

@Taha1381 «جواب» را از کجا گرفتید؟ اگر این پرسش تمرین یا سوالی از یک کتاب بوده‌است به مشخصات کتاب و شمارهٔ تمرین اشاره کنید. و اینکه در قسمت تلاش خودتان گفته‌اید برای عضو اول، کدام عضو اول؟ لطفا متنی که می‌نویسید را واضح‌ بنویسید تا بتوان راهنمایی مناسب را کرد که در کجای حل اشتباه می‌روید. بعلاوه شما پرسیده‌ای چگونه می‌توان افراز کرد، بعد نوشته‌اید جواب «یک عدد!»، احتمالا متن اصلی پرسش تعداد افرازها را خواسته بوده‌است که شما جا انداخته‌اید؟

Answer 1

3 مجموعه در نظر میگیریم و عضو اول را در یکی از آنها قرار میدهیم ( دقت کنید که مثلا بودن عضو اول در مجموعه 2 با بودن آن در مجموعه 3 فرقی ندارد زیرا مجموعه ها به ترتیب نیستند . ) و سپس عضو دوم را در یکی از مجموعه های باقی مانده قرار میدهیم . (برای عضو دوم نیز تفاوتی میان انتخاب هر یک از 2 زیر مجموعه وجود ندارد ) پس برای عضو اول و دوم 1 حالت و برای هر کدام از باقی اعضا 2 حالت داریم که عدد $2^{1359}$ بدست می آید . (برای هر $2< n$ یا $n$ با $n-2$ در یک مجموعه هستند یا نیستند )

حال حالتی وجود دارد که یک زیر مجموعه تهی باشد ( یک زیر مجموعه اعضای فرد و دیگری زوج ) که باید آن را کم کنیم که عدد $2^{1359}-1$ بدست می آید .