فردی در کلاس ۳۰ نفری را A بنامید. ۲۸ نفر از این کلاس به تصادف بیرون میروند. از افراد باقیمانده یک نفر به تصادف انتخاب میکنیم. احتمال A بودن چقدر است؟

Question

در یک کلاس ۳۰ نفری می‌خواهیم فرد خاصی مثل $A$ را انتخاب کنیم. اگر پیش از انجام این انتخاب ۲۸ نفر بیرون بروند بدون در نظر گرفتن اینکه چه کسی بیرون می‌رود، یعنی اطلاعی از اینکه چه کسانی بیرون رفته‌اند نداریم، با چه احتمالی $A$ انتخاب می‌شود؟

Answer 1

اگر اشتباه نکرده باشم احتمال برابر $\frac{1}{30}$ شده و تفاوتی با اینکه یک نفر را از بین ۳۰ نفر انتخاب کنیم ندارد. نیازی به استفاده از احتمال کل نیست اما برای اثبات می توان گفت که در این مسئله دو حالت وجود دارد ۲۸ نفری که از کلاس خارج می شوند یا شامل A هستند ویا نیستند. اگر شامل A باشند بدیهی است که در این حالت احتمال صفر است. پس انتخاب A تنها در صورتی است که 28 نفر خارج شده شامل A نباشند. پس احتمال انتخاب این 28 نفر به صورت $\frac{ \binom{29}{28} }{ \binom{30}{28} } = \frac{1}{15}$ است. حالا باید از بین دو نفر باقی مانده شخص A را انتخاب کنیم که برابر $\frac{1}{2}$ پس احتمال کل برایر $\frac{1}{15} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{30}$ است. البته همانطور که گفتم این محاسبات برای اثبات این موضوعه و در این مسئله می توان خارج شدن 28 نفر را نادیده گرفت.نمونه این سوال رو در کتاب زیر دیده بودم:

**ریاضیات گسسته و جبر و احتمال - نشر الگو(محمدحسین متولی - علی اصغر اکبری نیا) - فصل هفتم - صفحه 445 - تست 18

**در آخر فیلم زیر هم در مورد این موضوع توضیح داده میشه:

http://sanatisharif.ir/Sanati-Sharif-Video/1/20/4973

$\nwarrow$ فرد موردنظر داخل 28 نفر باشد. $\frac{ \binom{29}{27} }{\binom{30}{28}} = \frac{14}{15}$ $\leftarrow$ 0 انتخاب فرد از گروهی که در بین آنها نیست

$\swarrow$ فرد موردنظر داخل 28 نفر نباشد. $\frac{ \binom{29}{28} }{ \binom{30}{28} } = \frac{1}{15}$$\leftarrow$ $\frac{1}{2}$ انتخاب فرد از بین دو نفر

در آخر داریم $\frac{14}{15} \times 0 + \frac{1}{15} \times \frac{1}{2}$

Comments

راه حل شما با قانون کل احتمال حل شده که به خاطر اینکه این قانون پشتشه کاملا درسته ولی راه حل خودمو شک دارم چون همونجا بداهه به ذهنم رسید میشه بگید اگه راه حل من درسته چه توجیهی برای درستیش هست و اگر غلطه که هیچ. ممنون

---

گفتید راه حلتون 2/30 * 1/2 هست. منظور شما از 2/30 چی بوده؟

---

اگه فرد مورد نظر تو کلاس باشه بااحتمال 1/2 انتخاب میشه و انتخاب دو نفر از 30 نفر که میشه 2/30 در ضمن یک راه حل دیگه اینکه بگیم اگه فرد مورد نظر تو 28 نفر باشه احتمال انتخاب اون یک نفر میشه 1/28 و با احتمال 28/30 این 28 نفر انتخاب میشن که کلا  احتمال میشه 1/30=1/28*28/30 البته خودمم نمیدونم چرا این راحل به ذهنم رسیده شاید به خاطر اینه که احساس میکنم یک ایده ساده برای اثبات اینه که هر چند نفر هم که از 30 نفر برداریم مثلا n نفر همواره شانس انتخاب اون یک نفر 1/30 بماند (چون همواره دو تا n ساده بشه و جواب همواره بشه 1/30) و با همین پیش زمینه به مساله نگاه کردم
1/30=n/30*1/n

---

همونطوری که می دونید اگه این انتخاب به جای دو مرحله در چند مرحله هم انجام بشه باز هم به 1/30 خواهید رسید. پس برای اینکه متوجه بشید راه حلتون درسته یا نه ازش برای انتخاب در 3 یا 4 مرحله استفاده کنید ببینید باز هم همین جواب بدست میاد یا نه.

---

@نرگس به نظرتان دادن یک امتیاز یا تأیید کردن پاسخ ایشان پس از این همه بحثی که کردید و با صبر به پرسش‌هایتان پاسخ داده‌اند کار سختی است؟ نگوئید که وقت ندارید که یک کلیک کردن بیشتر نیست! نگوئید که وظیفه‌تان نیست که در اینصورت وظیفهٔ ایشان نیز پاسخ‌دادن به پرسش شما نبوده‌است!