تابع 2 ضابطه ای

Question

تابع $f:[0,1] \longrightarrow [0,1]$ به صورت زیر است :

$$ f(x) =\begin{cases}1- ( \sqrt{xk} + \sqrt{(1-x)(1-k)} )^2 & x > k\\0 & x \leq k\end{cases} $$

اگر $0<k<1$ ثابت کنبد $n$ ای وجود دارد که :

$$ \underbrace{{f(f(...(f(}}1))...) =0$$

$$ n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . $$

Comments

اگه بررسی کنید می بینید که دنباله اکیدا نزولی است البته به جز حالتی که به صفر تبدیل شد پس حتما پس از مدتی صفر خواهد شد.

Answer 1

تا زمانی که $x>k$ دنباله اکیدا نزولی است چون $(\sqrt{xk}+\sqrt{(1-x)(1-k)})^2\ge 0 $ که عبارت حالت تساوی ندارد چون در ان صورت هر یک از رادیکال ها باید صفر باشند که امکان ندارد.پس:

$f(1)>f(f(1)>f(f(f(f),\dots>f^{n}(1)$

و $n$ عددی است که در ان $f^{n}(1)\le k$ بدیهی است که پس از انجام تعداد محدودی از ای تابع به $k$ می رسیم چون دنباله اکیدا نزولی است.و وقتی که به $k$ رسیدیم عبارت برابر صفر می شود.

و اگر در همان تابع اول $x \le k$ شد بدیهی است که عبارت در تابع دوم صفر می شود.