ابتدا نشان می دهیم که $ \{x:f(x)< g(x)\} $ اندازه پذیر است. فرض کنید $Q=\{r_k\}_1^\infty $ شمارشی از اعداد گویا باشد در اینصورت:
$$ \begin{align}\{x:f(x) >g(x)\}&=\bigcup_k\{x: f(x) > r_k >g(x)\}\\
&=\bigcup_k\big( \underbrace{\{x:f(x)>r_k\}}_{measurable} \cap \underbrace{\{x: g(x)< r_k\}}_{measurable} \big) \end{align}$$
لذا $\{x:f(x)> g(x)\} $ اندازه پذیر است.
برای $ \{x:f(x)< g(x)\}$ همان حالت بالاست.
برای $\{x:f(x)=g(x)\} $ برابر متمم $\{x:f(x)>g(x)\} $ اجتماع $\{x:f(x)< g(x)\} $ است که چون این دو مجموعه اندازه پذیرند لذا اندازه پذیری $\{x:f(x)=g(x)\} $ نتیجه می شود.
برای $ \{x:f(x)\neq g(x)\} $ برابر اجتماع $\{x:f(x)>g(x)\} $ و $\{x:f(x)< g(x)\} $ است.
