تعداد اعداد هفت رقمی که حاصل ضرب ارقام شان برابر 360 باشد چقدر است؟

Question

چند عدد هفت رقمی وجود دارد که حاصل ضرب ارقام‌شان برابر 360 باشد؟

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Answer 1

اول 360 رو تجزیه می کنیم داریم $360=2^3.3^2.5$

خب حالا کافیه تعداد سه تا عدد 2 ، دو تا عدد 3 و یک عدد 5 رو در 7 جایگاه قرار بدیم و بقیه جایگاه ها باید با عدد 1 پر بشن همچنین باید توجه کنیم که میتوان در یک رقم ترکیبی از این اعداد اول رو به طوری که حاصلش تک رقمی باشه هم قرار داد یعنی $2^2, 2^3, 3^2, 2 \times 3$ ترکیب های دیگه اعداد دو رقمی به دست میدن که قابل قبول نیستن.

برای راحتی فرض کنید 7 جعبه متمایز با شماره های 1 تا 7 داریم و میخواهیم 3 مهره با شماره 2 و 2 مهره با شماره 3 و یک مهره با شماره 5 رو درون این جعبه ها قرار بدیم همچنین همه جعبه ها را با یک مهره شماره 1 پر می کنیم هر جعبه بیانگر یک رقم از عدد 7 رقمی است که برابر حاصلضرب شماره مهره های داخل اون جعبه است. مثلا اگر در جعبه شماره 1 دو مهره شماره 2 داشته باشیم یعنی رقم اول ما $2 \times 2=4$ خواهد بود و الی اخر.

دقت کنید که یه دونه 5 بیشتر نداریم و 5 با هیچ مهره دیگه ای جز شماره 1 نمیتونه در یک جعبه باشه پس اول یکی از 7 جعبه رو برای گذاشتن شماره 5 انتخاب میکنیم که برابر است با $\binom 71$

حالا 6 جعبه داریم که باید با بقیه مهره ها پر بشن کار رو نمیخوام سخت کنم از یه کنار شروع میکنیم.

$$\binom 71 \times \binom61 \times \left[ \binom52 .\left( \binom52 + \binom31 \right) +\binom51 .\left( \binom42 + \binom41 \right) +\binom52+ \binom51 + \binom51 .\left( \binom52 + \binom41 \right) \right]= 11130$$

$\binom61$ : انتخاب یکی از 6 جعبه باقیمانده برای گذاشتن یک عدد شماره 2

$\binom52 .\left( \binom52 + \binom31 \right)$ :‌ دو عدد شماره 2 باقیمونده که اونا رو در دو تا از 5 جعبه باقیمونده قرار میدیم و دو تا شماره 3 یا تو دو تا از 5 جعبه قرار میگیرن یا دو تاشون با هم تو یه جعبه خالی که در حال حاضر 3 تا جعبه خالی داریم قرار میدیم.

$\binom51 .\left( \binom42 + \binom41 \right)$ :‌ دو تا شماره 2 رو باهم در یکی از 5 جعبه خالی قرار میدیم و دو تا شماره 3 یا هر کدوم در یکی از چهار جعبه باقیمونده قرار میگیرن یا جفتشون باهم در یکی از 4 جعبه.

$\binom52+ \binom51$ : دو تا شماره 2 رو در همون جعبه اول که برای شماره 2 انتخاب کرده بودیم میذاریم و دو تا شماره 3 در 5 جعبه باقیمونده قرار میدیم (یا دو تا در دو جعبه متمایز یا هر دو در یک جعبه)

$\binom51 .\left( \binom52 + \binom41 \right)$ : دو تا شماره 2 رو یکیش در جعبه اول و دیگری در 5 جعبه باقیمونده قرار میگیرن و دو تا شماره 3 رو باید در 5 جعبه به صورت مجاز تقسیم کنیم.

Answer 2

$\frac{7!}{2!2!}+\frac{7!}{4!}+3 \times \frac{7!}{3!2!}+2 \times \frac{7!}{3!}$