با طرفین وسطین داریم
$ a=23! \times (1+\frac12+\frac13+...+\frac1{23})=23!+\frac{23!}2+\frac{23!}3+...+\frac{23!}{23}$
تمام کسرهای عبارت سمت راست عددی صحیح است و به جز کسر $\frac{23!}{13}$ بقیه کسرها دارای عامل 13 در تجزیه خود هستند لذا در تقسیم بر 13 باقیمانده صفر دارند و باقیمانده تقسیم $\frac{23!}{13}$ بر 13 دقیقا برابر خودش میباشد و لذا اگر از همنهشتی به پیمانه 13 استفاده کنید حاصل برابر همان $\frac{23!}{13}$ خواهد بود یعنی باقیمانده تقسیم برابر است با $\frac{23!}{13}$
می توانستید از 13 فاکتور بگیرید که در این صورت a به این صورت نوشته میشد
$$ a=13(\frac{23!}{13}+....+\frac{23!}{23\times13})+\frac{23!}{13} $$
