15 کتاب مختلف را به چند طریق میتوان بین 3 نفر توزیع کرد به طوریکه؛ به هر کدام دقیقاً 5 کتاب برسد؟

Question

سلام.

15 کتاب مختلف را به چند طریق میتوان بین 3 نفر توزیع کرد به طوریکه؛ به هر کدام دقیقاً 5 کتاب برسد؟

آیا پاسخ این سوال برابر $c \binom{15}{5} c\binom{10}{5} c\binom{5}{5}$ است؟

با تشکر.

Answer 1

پاسخ صحیح همان پاسخی است که خودتان نوشته اید اما ممکن است تصور کنید که لازم است جواب را در $3!$ ضرب کنید. در این صورت : فرض کنید شخصی از شما می خواهد سه کتاب نظریه اعداد و ترکیبیات و جبر خطی را بین رضا و سعید و حسین تقسیم کنید و همچنین به شما می گوید بعد از این که این کار را انجام دادی می خواهم بدانم به هر کس چه کتابی داده شده است.یک روش تقسیم این است : ابتدا پیش رضا می روید و کتاب هندسه را به او می دهید و بعد پیش سعید می روید و کتاب جبر خطی را به سعید می دهید و در آخر کتاب ترکیبیات را به حسین می دهید. روش دیگر آن است که ابتدا بروید پیش سعید و کتاب جبر خطی را به او بدهید سپس پیش حسین رفته و کتاب ترکیبیات را به حسین بدهید و در آخر پیش رضا رفته و کتاب هندسه را به او می دهید. حال باز می گردید. شخصی که از شما خواسته بود کتاب ها را توزیع کنید می پرسد به هرکس چه کتابی رسید؟ شما چه به روش اول این تقسیم را انجا داده باشید و چه به روش دوم به آن شخص خواهید گفت کتاب هندسه را به رضا و ترکیبیات را به حسین و جبر خطی را به سعید دادم و دقت کنید که اصلا برای آن شخص اهمیتی ندارد که این کتاب ها را به چه ترتیبی دادید پس این دو روش تقسیم از نظر او یکسان هستند و در شمارش نباید دو حالت جداگانه محسوب شوند. اگر ترتیب افراد را در نظر بگیریم دادن کتاب هندسه به رضا و جبر خطی به سعید و ترکیبیات به حسین را می توان به شش طریق انجام داد. در حالی که از نظر شخصی که از شما درخواست کرده تنها مسئله مهم این است که گیر هر کسی کدام کتاب آمده .اگر پاسخ خود را در $3!$ ضرب کنید این شش حالت را حالاتی متفاوت فرض کرده اید.

یک روش دیگر برای آن که متوجه شوید احتیاجی به ضرب در $3!$ نیست این است که به جای این مسئله مسئله تقسیم دو کتاب بین دو نفر به طوریکه به هرکس دقیقا یک کتاب برسد را در نظر بگیرید تمام حالت های ممکن برای تقسیم را نوشته و یکبار هم پاسخ را از رابطه $\binom{2}{1} \binom{1}{1} 2!$ به دست آورید. خواهید دید که ضرب در $2!$ اشتباه است.

Comments

@amirabbas
ممنون.

Answer 2

چون انتخاب داریم پس ترکیب هستش دیگه.

Comments

آیا لازم نیست که در $3!$ هم ضرب شود چون این سه نفر بعد از توزیع کتابها  میتوانند با هم جایگشت داشته باشند؟

Answer 3

نباید ضرب در !3 بشه....نمونه این سوال سراسری انسانی 93...

به چند طریق میتوان 6 عدد اسباب بازی متمایز را بین سه بچه،با تعداد یکسان تقسیم کرد؟

1)54

2)60

3)72

4)90

$\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}=90$

جواب گزینه 4 میشه....اگر دقت کنید جایگشت ها در تقسیم به حساب نمیان...اساسا ما قرار نیست یکی یکی به 3 نفر کتاب بدهیم!سوال دنبال اونی نیست که شما فکر میکنید!

بنابراین تنها جواب:

$\binom{15}{5} \binom{10}{5} \binom{5}{5}$