نشان دهید $f_{n} \rightarrow 0$ اگر و تنها اگر $\int_X \frac{| f_{n}| }{1+| f_{n}| }d \mu \rightarrow 0$

Question

فرض کنید که $\mu (X) < \infty$. ثابت کنید که $f_{n} \rightarrow 0$ در اندازه اگر و تنها اگر $\int_X \frac{| f_{n}| }{1+| f_{n}| }d \mu \rightarrow 0$.

نشان دهید که نتیجه حکم بالا بدون در نظر گرفتن فرض $\mu (X) < \infty$ درست نیست .

Answer 1

فرض کنیم$f_{n} \rightarrow 0$ در اینصورت اگر قرار دهیم $E=\{|f|< \epsilon\}$ در اینصورت داریم $E^c=\{|f|\geq \epsilon\}$ و

$$\int \frac{|f_n|}{1+|f_n|}=\int_E\frac{|f_n|}{1+|f_n|}+\int_{E^c}\frac{|f_n|}{1+|f_n|}$$ اما روی $E$ داریم $|f|< \epsilon$ بنابراین $\frac{|f_n|}{1+|f_n|}< \frac{\epsilon}{1+\epsilon}$ پس انتگرال اولی را می توان موچک کرد و چون همواره $\frac{|f_n|}{1+|f_n|}\leq 1$ پس انتگرال دومی از $\mu(E^c)$ کوچکتر خواهد بود اما چون $f_n\to f$ در اندازه لذا $\mu(E^c)$ هم طبق تعریف همگرایی در اندازه از $\epsilon$ کوچکتر خواهد بود که نشان می دهد انتگرال بالا به صفر میل می کند.

حال طرف عکس یعنی فرض کنیم$\int_X \frac{ | f_{n} | }{1+ |f_{n} | } \rightarrow 0$آنگاه چون رابطه ی زیر همواره درست است

$$x \geq \epsilon \Longleftrightarrow \frac{x}{1+x} \geq \frac{ \epsilon }{1+ \epsilon }$$ آنگاه خواهیم داشت $$\begin{align} \mu ^{*} \big\{x \in X: | f_{n}(x) | \geq \epsilon \big\} &= \mu ^{*} \big\{x \in X: \frac{ | f_{n}(x) | }{1+ | f_{n}(x) | } \geq \frac{ \epsilon }{1+ \epsilon } \big\} \\ &\leq \frac{1+ \epsilon }{ \epsilon } . \int_X \frac{ | f_{n} | }{1+ |f_{n} | } \rightarrow 0\end{align}$$ که این نیز طبق تعریف همگرایی در اندازه ایجاب میکند $$f_{n} \rightarrow 0.$$