مشتق توابع قدرمطلق

Question

می دانیم که به ازای ریشه های ساده قدرمطلق، تابع در این نقاط مشتق ناپذیر است.حال اگر شرایط طوری باشد که به ازای $ x=a$ هم ریشه ساده داشته باشیم هم مضاعف، در اینصورت جواب چه خواهد بود؟ به عنوان مثال: تابع $ | (x-1)^{5} (x-2)^{2} (x+3) (x+4)^{3} | $ در کدام نقاط مشتق ناپذیر است؟

Comments

به نظر می رسد تنها در عاملی که توان یک داشته باشد تابع درآنجامشتق پذیر نخواهد بودیعنی x+3

---

@shahabmath پرسش‌تان اشتباه است. یک تابع در یک مقدار ثابتِ $x=a$ نمی‌تواند هم ریشهٔ ساده داشته‌باشد و هم ریشهٔ مرکب! در نمونه‌ای که آورده‌اید. تابع‌تان در $x=1$ ریشهٔ مرکب و نه ساده، در $x=2$ ریشهٔ مرکب و نه ساده، در $x=-3$ ریشهٔ ساده و نه مرکب، در $x=-4$ ریشهٔ مرکب و نه ساده دارد.

اگر $x=a$ ریشهٔ تابع‌تان نباشد که هیچ کدام از دو گزارهٔ $x=a$ ریشهٔ ساده یا ریشهٔ مرکب تابع‌تان است برقرار نیست. اکنون با فرض اینکه $x=a$ ریشهٔ تابع‌تان باشد،اینکه $x=a$ ریشهٔ ساده باشد دقیقا نقیض $x=a$ ریشهٔ مرکب باشد است! و گزارهٔ «یک گزاره و نقیض آن» یک تناقض است!