ابتدا قضیه را بیان میکنیم :
اگر تابع f: (a,b) \to \mathbb{R} در نقطه ی c \in (a,b) مشتق پذیر باشد .
آنگاه تابع f در نقطه c پیوسته است .
حال اثبات میکنیم :
ما دنبال آن هستیم که ثابت کنیم
\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0
حال حاصل حد زیر را بدست می اوریم :
\begin{align} \lim_{x \to c} f(x)-f(c)= \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c)\end{align}
طبق فرض قضیه میدانیم که حد
\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} یعنی همان تعریف مشتق در نقطه
c یعنی
f'(c) که مشتقدر کل یک حد مبهم صفر صفرم است که باید رفع ابهام شود و بعد اگر حد موجود بود بگوییم مشتق وجود دارد که در اینجه طبق فرض گفته این حد مبهم صفر صفر موجود است .
وهمچنین میدانیم اگر تابع
f ,g در نقطه
c حد داشته باشن آنگاه خواهیم داشت :
\lim_{x\to c} f(x) \cdot g(x) =\lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)
در نتیجه خواهیم داشت :
\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c) =\lim_{x \to c } \dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)}
\cdot \lim_{x \to c } (x -c) \\ =f'(c) \cdot 0 =0
در نتیجه ثابت کردیم که :
\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0
که این یعنی :
\lim_{x \to c} f(x)=f(c)
که این یعنی در نقطه c پیوسته است .
