به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
99 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa

ثابت کنید که اگر تابع f در نقطه c مشتق پذیر باشد تابع در آن نقطه پیوسته است.

من در پایین یک اثبات از کتاب حساب دیفرانسیل جورج توماس آوردم.ولی به نظر من مشکل داره. مشکلشم عرض می کنم.enter image description here

در آخر این اثبات ما نتیجه میگیریم که:$ \lim_{x \rightarrow c}(f(x)-f(c))=0 $

وقتی این نتیجه را در فورمول مشتق قرار میدهیم حد جواب فرمول باید $ \frac{0}{0} $ باشدزیرا: $ \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}= \frac{ \lim_{x \rightarrow c}(f(x)-f(c)) }{ \lim_{x \rightarrow c} x-c} = \frac{0}{0} $ این به این معنا است که شیب خط ما صفر است در حالی که در شکل این طور نیست. من فرض میکنم این اثبات یا مفهوم مشتق در تناقض است. اولا راهنمایی کنید که نظر من درست است یا نه دوم هم بگویید که در اثبات پایین دقیقا چگونه از فرمول مشتق برای اثبات موضوع استفاده کرده است؟

دارای دیدگاه توسط fardina
+3
چه تلاشی کردین؟
این قضیه در همه کتاب های ریاضی عمومی دانشگاهی میتونید پیدا کنید. حتی کتاب های دبیرستان.
پس اگر اثبات رو متوجه نشدید لطف کنید اثباتو بنویسید و دقیق بگید کجا مشکل دارید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
قبلا چندین بار به شما تذکر داده شده بود. الان که زحمت کشیدید و سوالتون رو کامل با جزییات توضیح دادید رغبت ما هم به جواب بیشتر میشه. اگر میخواستم براتون اثبات اینکه هر تابع مشتقپذیر پیوسته است رو بنویسم همون چیزی رو می نوشتم که در کتاب آمده بود و شاید کمتر! و مطمئنا کمکی به مشکل شما نمی کرد!

میشه بگید چرا از اینکه $\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac 00$ شما نتیجه گرفتید که شیب باید صفر باشه؟
مثلا اگر $f(x)=x$ در اینصورت $\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{\lim_{x\to c}f(x)-f(c)}{\lim_{x\to c}x-c}=\frac 00$ پس می توانیم نتیجه بگیریم شیب خط $y=x$ صفر است؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

ابتدا قضیه را بیان میکنیم :

اگر تابع $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ در نقطه ی $c \in (a,b)$ مشتق پذیر باشد . آنگاه تابع $f$ در نقطه $c$ پیوسته است .

حال اثبات میکنیم :

ما دنبال آن هستیم که ثابت کنیم

$$\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0$$

حال حاصل حد زیر را بدست می اوریم :

$$ \begin{align} \lim_{x \to c} f(x)-f(c)= \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c)\end{align}$$ طبق فرض قضیه میدانیم که حد $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)}$ یعنی همان تعریف مشتق در نقطه $c$ یعنی $f'(c)$ که مشتقدر کل یک حد مبهم صفر صفرم است که باید رفع ابهام شود و بعد اگر حد موجود بود بگوییم مشتق وجود دارد که در اینجه طبق فرض گفته این حد مبهم صفر صفر موجود است . وهمچنین میدانیم اگر تابع $f ,g$ در نقطه $c$ حد داشته باشن آنگاه خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to c} f(x) \cdot g(x) =\lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c) =\lim_{x \to c } \dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot \lim_{x \to c } (x -c) \\ =f'(c) \cdot 0 =0$$

در نتیجه ثابت کردیم که :

$$\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0$$

که این یعنی :

$$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$$

که این یعنی در نقطه $c$ پیوسته است .

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...