تابع $f$ شبیه یک سهمی است که در یک نقطه پیوسته نیست و $g(x)=\frac{x}{2f(x)}$. در اینصورت $g'(0)$ را بحث کنید.

Question

پرسش زیر را بخوانید.

اگر نمودار تابع $f$ به شکل زیر باشد و $g(x)=\frac{x}{2f(x)}$، مقدار $g'(0)$ کدام است؟

1. $\frac{1}{2}$
2. $-\frac{1}{2}$
3. $-\frac{1}{4}$
4. وجود ندارد.

سلام الآن سوال من اینه که برای اینکه تابع $g$ در سوال بالا تعریف بشه، باید $f(x)$ و $x$ خودشون مشتق‌پذیر باشن. در سوال بالا به علت پیوسته نبودن تابع $f$، قاعدتا نباید تابع $g$ مشتق می‌داشت اما خود سوال گفته تابع $g$ مشتق داره و حل کرده. می‌شه علتش رو توضیح بدین؟

Comments

@Zahraiii چون تازه‌وارد هستید و احتمالا دانش‌آموز، برایتان پرسش را ویرایش کردم. چند نکته که باید در نوشتن پست‌های پرسش‌تان رعایت کنید:
۱- متن پرسش را تایپ کنید یعنی فقط عکس نمودار را در قالب تصویر بارگذاری کنید و جمله‌ها و گزینه‌های سوال را باید تایپ می‌کردید همانگونه که من برایتان انجام دادم.
۲- نام کتاب به همراه نام نویسنده یا مشخصاتش را در قسمت مرجع بنویسید.
۳- عنوان پرسش را کلی ننویسید، به عنوانی که برایتان انتخاب کردم نگاه کنید تا فرقش را با عنوان قبلی‌تان متوجه شوید.

Answer 1

درست است که تابع $g$ در $x=0$ پیوسته نیست ولی پیوستگی $f$ را باید جداگانه بررسی کنید. حواستان باشد که برخی نتایج و قضایای ریاضی یک طرفه است! یعنی وقتی می‌گوئید «تقسیم دو تابع پیوسته به شرط صفر نبودن مخرج، پیوسته است» یک گزارهٔ شرطی یک طرفه است پس اگر $f$ در صفر پیوسته می‌بود آنگاه $g$ بنا به این گزاره پیوسته می‌شد ولی برعکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی اینکه اگر $f$ در صفر پیوسته نباشد، آنگاه گزارهٔ یادشده هیچ اطلاعاتی در مورد پیوسته بودن یا نبدن $g$ در صفر به شما نمی‌دهد!

پس بیاییم پیوستگی $g$ در $x=0$ را چک کنیم. ابتدا مقدار تابع در این نقطه.

$$g(0)=\frac{0}{2f(0)}=\frac{0}{2(1)}=\frac{0}{2}=0$$

اکنون حد این تابع زمانیکه $x$ به صفر میل می‌کند.

\begin{align} \lim_{x\to 0}g(x) &=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2f(x)}\\ &=\frac{\lim_{x\to 0}x}{2\lim_{x\to 0}f(x)}\\ &=\frac{0}{2(-2)}\\ &=\frac{0}{-4}\\ &=0 \end{align}

پس همان گونه که می‌بینید چون $\lim_{x\to 0}g(x)=g(0)$ و در نتیجه تابع‌تان در $x=0$ برخلاف آنچه فکر می‌کردید پیوسته است.

Comments

AmirHosein@ وحالا باید فقط از راه تعریف بریم و به گزینه 1 می رسیم؟

---

@good4us دقیقا.