به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
89 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Zahraiii (3 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

پرسش زیر را بخوانید.

اگر نمودار تابع $f$ به شکل زیر باشد و $g(x)=\frac{x}{2f(x)}$، مقدار $g'(0)$ کدام است؟

  1. $\frac{1}{2}$
  2. $-\frac{1}{2}$
  3. $-\frac{1}{4}$
  4. وجود ندارد.

توضیحات تصویر

سلام الآن سوال من اینه که برای اینکه تابع $g$ در سوال بالا تعریف بشه، باید $f(x)$ و $x$ خودشون مشتق‌پذیر باشن. در سوال بالا به علت پیوسته نبودن تابع $f$، قاعدتا نباید تابع $g$ مشتق می‌داشت اما خود سوال گفته تابع $g$ مشتق داره و حل کرده. می‌شه علتش رو توضیح بدین؟

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@Zahraiii چون تازه‌وارد هستید و احتمالا دانش‌آموز، برایتان پرسش را ویرایش کردم. چند نکته که باید در نوشتن پست‌های پرسش‌تان رعایت کنید:
۱- متن پرسش را تایپ کنید یعنی فقط عکس نمودار را در قالب تصویر بارگذاری کنید و جمله‌ها و گزینه‌های سوال را باید تایپ می‌کردید همانگونه که من برایتان انجام دادم.
۲- نام کتاب به همراه نام نویسنده یا مشخصاتش را در قسمت مرجع بنویسید.
۳- عنوان پرسش را کلی ننویسید، به عنوانی که برایتان انتخاب کردم نگاه کنید تا فرقش را با عنوان قبلی‌تان متوجه شوید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
انتخاب شده توسط Zahraiii
 
بهترین پاسخ

درست است که تابع $g$ در $x=0$ پیوسته نیست ولی پیوستگی $f$ را باید جداگانه بررسی کنید. حواستان باشد که برخی نتایج و قضایای ریاضی یک طرفه است! یعنی وقتی می‌گوئید «تقسیم دو تابع پیوسته به شرط صفر نبودن مخرج، پیوسته است» یک گزارهٔ شرطی یک طرفه است پس اگر $f$ در صفر پیوسته می‌بود آنگاه $g$ بنا به این گزاره پیوسته می‌شد ولی برعکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی اینکه اگر $f$ در صفر پیوسته نباشد، آنگاه گزارهٔ یادشده هیچ اطلاعاتی در مورد پیوسته بودن یا نبدن $g$ در صفر به شما نمی‌دهد!

پس بیاییم پیوستگی $g$ در $x=0$ را چک کنیم. ابتدا مقدار تابع در این نقطه.

$$g(0)=\frac{0}{2f(0)}=\frac{0}{2(1)}=\frac{0}{2}=0$$

اکنون حد این تابع زمانیکه $x$ به صفر میل می‌کند.

\begin{align} \lim_{x\to 0}g(x) &=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2f(x)}\\ &=\frac{\lim_{x\to 0}x}{2\lim_{x\to 0}f(x)}\\ &=\frac{0}{2(-2)}\\ &=\frac{0}{-4}\\ &=0 \end{align}

پس همان گونه که می‌بینید چون $\lim_{x\to 0}g(x)=g(0)$ و در نتیجه تابع‌تان در $x=0$ برخلاف آنچه فکر می‌کردید پیوسته است.

توسط good4us (5,380 امتیاز)
+1
AmirHosein@ وحالا باید فقط از راه تعریف بریم و به گزینه 1 می رسیم؟
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+1
@good4us دقیقا.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...