درست است که تابع $g$ در $x=0$ پیوسته نیست ولی پیوستگی $f$ را باید جداگانه بررسی کنید. حواستان باشد که برخی نتایج و قضایای ریاضی یک طرفه است! یعنی وقتی میگوئید «تقسیم دو تابع پیوسته به شرط صفر نبودن مخرج، پیوسته است» یک گزارهٔ شرطی یک طرفه است پس اگر $f$ در صفر پیوسته میبود آنگاه $g$ بنا به این گزاره پیوسته میشد ولی برعکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی اینکه اگر $f$ در صفر پیوسته نباشد، آنگاه گزارهٔ یادشده هیچ اطلاعاتی در مورد پیوسته بودن یا نبدن $g$ در صفر به شما نمیدهد!
پس بیاییم پیوستگی $g$ در $x=0$ را چک کنیم. ابتدا مقدار تابع در این نقطه.
$$g(0)=\frac{0}{2f(0)}=\frac{0}{2(1)}=\frac{0}{2}=0$$
اکنون حد این تابع زمانیکه $x$ به صفر میل میکند.
\begin{align}
\lim_{x\to 0}g(x) &=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2f(x)}\\
&=\frac{\lim_{x\to 0}x}{2\lim_{x\to 0}f(x)}\\
&=\frac{0}{2(-2)}\\
&=\frac{0}{-4}\\
&=0
\end{align}
پس همان گونه که میبینید چون $\lim_{x\to 0}g(x)=g(0)$ و در نتیجه تابعتان در $x=0$ برخلاف آنچه فکر میکردید پیوسته است.
