اثبات پیوسته بودن توابع مرکب

Question

ثابت کنید که اگر تابع f در c و تابع g در (f(c پیوسته باشد آنگاه ترکیب ((g(f(c در c پیوسته است. تلاش من :

فرض:$\lim_{x \rightarrow f(c)}g(x)=g(f(c))و \lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$

حکم :$\lim_{x \rightarrow c} g(f(x))=g(f(c))$

اثبات :

$\lim_{x \rightarrow f(c)} g(x)= \lim_{x \rightarrow \lim_{x \rightarrow c}f(x) } g(x)=g( \lim_{x\rightarrow c} f(x))=g(f(c))$

ولی خودم فکر نمی کنم اثباتم کامل باشه اگه میشه راهنمایی کنید.

Comments

ویرایش کردن
فکر کنم این راه حل دیگه درست باشه.
اگه زحمت نمی شه یک راهنمایی بکنید.

---

پس اثباتش چیه؟

Answer 1

برای اثبات اینکه تابع $g\circ f(x)$ در نقطهٔ $x=c$ حد دارد باید ثابت کنید برای هر $\varepsilon >0$ همسایگی‌ای از $c$ بیابید که مقادیر این تابع به ازای هر نقطه از این همسایگی درونِ گوی $B(g\circ f(c),\varepsilon)$ قرار بگیرد. جهت یادآوری، گوی $B(x,\varepsilon)$ یعنی مجموعهٔ تمام نقاطی که از $x$ فاصلهٔ $\varepsilon$ داشته‌باشند که در خط حقیقی با متر اقلیدسی می‌شود تمام $y$هایی که در رابطهٔ $|y-x|< \varepsilon$ صدق کنند. اکنون فرض‌هایی که دارید را مررو کنیم. پیوستگیِ $f(x)$ پیرامون $c$ یعنی برای هر $\varepsilon_1$ مثبتی می‌توان $\delta_1$ مثبتی یافت که برای هر $y$ که $|y-x|< \delta_1$ داشته باشیم $|f(x)-f(c)|< \varepsilon_1$. و پیوستگی $g(x)$ پیرامون $f(c)$ یعنی برای هر $\varepsilon_2$ مثبتی می‌توان $\delta_2$ مثبتی یافت که برای هر $y$ که که $|y-f(c)|< \delta_2$ داشته‌باشیم $|g(y)-g(f(c))|< \varepsilon_2$. اکنون کافیست قرار دهیم $\varepsilon_2=\varepsilon$ و یک $\delta_2$ بیابیم و سپس قرار دهیم $\varepsilon_1=\delta_2$ و یک $\delta_1$ بیابیم. برای هر $y\in B(c,\delta_1)$ خواهیم داشت $f(y)\in B(f(c),\delta_2)$ و در نتیجه $g(f(y))\in B(g(f(c)),\varepsilon)$. که حکم را تمام می‌کند.

البته یک ایدهٔ دیگر استفاده از دنباله‌ها می‌باشد.

Comments

با سلام
چگونه با استفاده از دنباله ها این قضیه رو میشه اثبات کرد ممنون میشم بگید