به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
109 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa

ثابت کنید که اگر تابع f در c و تابع g در (f(c پیوسته باشد آنگاه ترکیب ((g(f(c در c پیوسته است. تلاش من :

فرض:$ \lim_{x \rightarrow f(c)}g(x)=g(f(c))و \lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$

حکم :$ \lim_{x \rightarrow c} g(f(x))=g(f(c))$

اثبات :

$ \lim_{x \rightarrow f(c)} g(x)= \lim_{x \rightarrow \lim_{x \rightarrow c}f(x) } g(x)=g( \lim_{x\rightarrow c} f(x))=g(f(c)) $

ولی خودم فکر نمی کنم اثباتم کامل باشه اگه میشه راهنمایی کنید.

دارای دیدگاه توسط aaa
ویرایش کردن
فکر کنم این راه حل دیگه درست باشه.
اگه زحمت نمی شه یک راهنمایی بکنید.
دارای دیدگاه توسط aaa
پس اثباتش چیه؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

برای اثبات اینکه تابع $g\circ f(x)$ در نقطهٔ $x=c$ حد دارد باید ثابت کنید برای هر $\varepsilon >0$ همسایگی‌ای از $c$ بیابید که مقادیر این تابع به ازای هر نقطه از این همسایگی درونِ گوی $B(g\circ f(c),\varepsilon)$ قرار بگیرد. جهت یادآوری، گوی $B(x,\varepsilon)$ یعنی مجموعهٔ تمام نقاطی که از $x$ فاصلهٔ $\varepsilon$ داشته‌باشند که در خط حقیقی با متر اقلیدسی می‌شود تمام $y$هایی که در رابطهٔ $|y-x|<\varepsilon$ صدق کنند. اکنون فرض‌هایی که دارید را مررو کنیم. پیوستگیِ $f(x)$ پیرامون $c$ یعنی برای هر $\varepsilon_1$ مثبتی می‌توان $\delta_1$ مثبتی یافت که برای هر $y$ که $|y-x|<\delta_1$ داشته باشیم $|f(x)-f(c)|<\varepsilon_1$. و پیوستگی $g(x)$ پیرامون $f(c)$ یعنی برای هر $\varepsilon_2$ مثبتی می‌توان $\delta_2$ مثبتی یافت که برای هر $y$ که که $|y-f(c)|<\delta_2$ داشته‌باشیم $|g(y)-g(f(c))|<\varepsilon_2$. اکنون کافیست قرار دهیم $\varepsilon_2=\varepsilon$ و یک $\delta_2$ بیابیم و سپس قرار دهیم $\varepsilon_1=\delta_2$ و یک $\delta_1$ بیابیم. برای هر $y\in B(c,\delta_1)$ خواهیم داشت $f(y)\in B(f(c),\delta_2)$ و در نتیجه $g(f(y))\in B(g(f(c)),\varepsilon)$. که حکم را تمام می‌کند.

البته یک ایدهٔ دیگر استفاده از دنباله‌ها می‌باشد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...