همه ی توابع پیوسته جمعی

Question

فرض کنید $f:\mathbb R\to\mathbb R$ یک تابع پیوسته بوده که جمعی نیز می باشد یعنی به ازای هر $x,y\in\mathbb R$ :

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ همه ی توابع پیوسته جمعی را تعیین کنید.

Comments

میشه توابع خطی به فرم $y=ax$.

---

اا..admin: چرا جواب منو تو دیدگاه گذاشتی؟؟؟
حوصله نداشتم جوابو بنویسم.

---

ممنون از جوابتون. ولی در قسمت پاسخ باید جواب با جزییات نوشته بشه. به خاطر همین پاسختون انتقال داده شد.

Answer 1

ابتدا بجای $y$ هم $x$ قرار میدهیم لذا$f(2x)=2f(x)$ و با استقرا بدست می آوریم که $f(nx)=nf(x)$. حال بجای $x$ ,$1$ قرار میدهیم لذا $f(n)=nf(1)$ بعد رابطه ی زیر را بدست می آوریم:

$$f(1)=f(m \times \frac{1}{m})=mf( \frac{1}{m}) \Rightarrow f( \frac{1}{m})= \frac{f(1)}{m}$$ پس برای هر$n,m$ داریم:

$$f( \frac{n}{m} )=f(n \times \frac{1}{m})=nf( \frac{1}{m}) = \frac{n}{m}f(1)$$ یابطور معادل اگر $x$ عددی گویا باشد آنگاه $f(x)=xf(1)$ .

حال فرض کنید $x$ عددی گنگ باشد آنگاه دنباله ای از اعداد گویا مانند دنباله $x_{n}$ موجود است که به$x$ همگراست چون تابع $f$ تابعی پیوسته است لذا $f( x_{n} )$ هم به $f(x)$ همگراست. اما $f( x_{n} )=x_{n} f(1)$ که به $xf(1)$ همگراست و چون مقدار همگرایی هر دنباله یکتاست پس $f(x)=xf(1)$ یعنی برای هر $x$ داریم $f(x)=xf(1)$ و لذا تمام توابع پیوسته جمعی بصورت $f(x)=ax$است که در آن $a=f(1)$.