همه ی توابع پیوسته جمعی

Question

فرض کنید $ f:\mathbb R\to\mathbb R $ یک تابع پیوسته بوده که جمعی نیز می باشد یعنی به ازای هر $ x,y\in\mathbb R $ : $$f(x+y)=f(x)+f(y) $$ همه ی توابع پیوسته جمعی را تعیین کنید.

Comments

میشه توابع خطی به فرم $ y=ax $.

---

اا..admin: چرا جواب منو تو دیدگاه گذاشتی؟؟؟
حوصله نداشتم جوابو بنویسم.

---

ممنون از جوابتون. ولی در قسمت پاسخ باید جواب با جزییات نوشته بشه. به خاطر همین پاسختون انتقال داده شد.

Answer 1

ابتدا بجای $ y $ هم $ x $ قرار میدهیم لذا$f(2x)=2f(x) $ و با استقرا بدست می آوریم که $f(nx)=nf(x) $. حال بجای $ x$ ,$1$ قرار میدهیم لذا $f(n)=nf(1) $ بعد رابطه ی زیر را بدست می آوریم:

$$f(1)=f(m \times \frac{1}{m})=mf( \frac{1}{m}) \Rightarrow f( \frac{1}{m})= \frac{f(1)}{m} $$ پس برای هر$n,m $ داریم:

$$f( \frac{n}{m} )=f(n \times \frac{1}{m})=nf( \frac{1}{m}) = \frac{n}{m}f(1) $$ یابطور معادل اگر $ x$ عددی گویا باشد آنگاه $ f(x)=xf(1) $ .

حال فرض کنید $ x$ عددی گنگ باشد آنگاه دنباله ای از اعداد گویا مانند دنباله $ x_{n} $ موجود است که به$ x$ همگراست چون تابع $ f$ تابعی پیوسته است لذا $f( x_{n} ) $ هم به $ f(x) $ همگراست. اما $f( x_{n} )=x_{n} f(1) $ که به $xf(1) $ همگراست و چون مقدار همگرایی هر دنباله یکتاست پس $f(x)=xf(1) $ یعنی برای هر $ x $ داریم $f(x)=xf(1) $ و لذا تمام توابع پیوسته جمعی بصورت $ f(x)=ax $است که در آن $ a=f(1) $.