توابع پیوسته حافظ حد دنباله اند و یا توابع پیوسته حافظ همگرایی دنباله ها اند .

Question

نشان دهید :$ \parallel \lim_{n \rightarrow \propto }Xn-Yn \parallel= \lim_{n \rightarrow \propto } \parallel Xn-Yn \parallel $

Answer 1

چیزی که در عنوان نشوتید با چیزی که در متن پاسخ نوشتید متفاوت هستند. در عنوان شما به قضیه زیر ارجاع می دهید:

اگر $f:X\to \mathbb R$ که $X$ فضایی متریک است در $a$ پیوسته باشد آنگاه به ازای هر دنباله $x_n$ که به $a$ همگراست دنباله ی $f(x_n)$ به $f(a)$ همگراست.

در متن پرسش اما تساوی که نوشتید همواره برقرار نیست. به عنوان مثال در $(\mathbb R, |.|)$ دنباله $x_n=1+(-1)^n$ و $y_n=1$ را در نظر بگیرید در اینصورت $x_n-y_n=(-1)^n$ حد ندارد در حالیکه $\|x_n-y_n\|=1$ حد دارد.