به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
55 بازدید
در دانشگاه توسط fahime (136 امتیاز)
ویرایش شده توسط fahime

همه توابع پیوسته به توی یک فضای گسسته را مشخص کنید. تابع پیوسته تابعی است که در تمام نقاط دامنه اش پیوسته باشد.

مرجع: فضاهای متریک با طعم توپولوژی-دکتر میرزاوزیری-فصل سه - ۵.۶.۳
توسط mdgi (824 امتیاز)
منظورتان فقط فضای متریک است درسته؟ یا فضاهای توپولوژیک ؟
توسط fahime (136 امتیاز)
متریک @mdgi
توسط fahime (136 امتیاز)
@mdgi من هم مشکلم اینه... سوال ذکر شده در کتاب درست به همین صورت است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdgi (824 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdgi
 
بهترین پاسخ

اگر تابعی غیر ثابت از یک فضای متریک به یک فضای متریک گسسته داشته باشیم مانند زیر: $$f:(M,d)\to (M_2,d_2)$$ که $(M_2,d_2)$ گسسته است. یک عضو از $M_2$ مانند $x_0$ در نظر می‌گیریم. چون مجموعهٰ‌های $\lbrace x_0\rbrace$ و $M_2\backslash \lbrace x_0\rbrace $ باز هستند، پس مجموعه‌های $f^{-1}(M_2\backslash \lbrace x_0\rbrace )$ و $f^{-1}(\lbrace x_0\rbrace )$ در $M$ باز هستند. ولی اجتماع این دومجموعه باز مجزا، مساوی $M$ میشود این یعنی اینکه $M$ ناهمبند است. بنابراین اگر دامنه $f$ یعنی $M$ همبند باشد (مثلا فضای اعداد حقیقی باشد) چنین تابعی وجود ندارد.

اما زمانی که دامنه تابع، ناهمبند باشد، هر مجموعه $f^{-1}(x)$ که $x\in M_2$ در فضای $M$ باز است. بنابراین $M$ را میتوان به صورت اجتماعی از مجموعه های دو به دومجزا و باز نوشت. در این صورت هر تابع پیوسته از $M$ به $M_2$ تابعی است که هر مولفه باز را به یک نقطه می نگارد.

توسط AmirHosein (9,971 امتیاز)
@mdgi به عنوان مثال نقض برای پاراگراف نخست‌تان که می‌گوید «هیچ تابع پیوسته‌ای از یک فضای همبند به یک فضای گسسته نداریم»، می‌توانید تابع‌های ثابت را در نظر بگیرید. برگردان هر مجموعه‌ای توسط این تابع‌ها یا کل دامنه می‌شود یا تهی که هر دو باز هستند پس تابع‌هایی پیوسته هستند.
توسط mdgi (824 امتیاز)
متشکرم . درستش کردم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...