اگر تابعی غیر ثابت از یک فضای متریک به یک فضای متریک گسسته داشته باشیم مانند زیر:
$$f:(M,d)\to (M_2,d_2)$$
که
$(M_2,d_2)$
گسسته است. یک عضو از
$M_2$
مانند $x_0$ در نظر میگیریم. چون مجموعهٰهای
$\lbrace x_0\rbrace$
و
$M_2\backslash \lbrace x_0\rbrace $
باز هستند، پس مجموعههای
$f^{-1}(M_2\backslash \lbrace x_0\rbrace )$
و
$f^{-1}(\lbrace x_0\rbrace )$
در
$M$
باز هستند. ولی اجتماع این دومجموعه باز مجزا، مساوی
$M$
میشود این یعنی اینکه
$M$
ناهمبند است. بنابراین اگر دامنه $f$ یعنی $M$ همبند باشد (مثلا فضای اعداد حقیقی باشد) چنین تابعی وجود ندارد.
اما زمانی که دامنه تابع، ناهمبند باشد، هر مجموعه
$f^{-1}(x)$
که
$x\in M_2$
در فضای
$M$
باز است. بنابراین $M$ را میتوان به صورت اجتماعی از مجموعه های دو به دومجزا و باز نوشت. در این صورت هر تابع پیوسته از $M$ به $M_2$ تابعی است که هر مولفه باز را به یک نقطه می نگارد.
