ابتدا قضیه را بیان میکنیم :
اگر تابع $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ در نقطه ی $c \in (a,b)$ مشتق پذیر باشد .
آنگاه تابع $f$ در نقطه $c$ پیوسته است .
حال اثبات میکنیم :
ما دنبال آن هستیم که ثابت کنیم
$$\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0$$
حال حاصل حد زیر را بدست می اوریم :
$$ \begin{align} \lim_{x \to c} f(x)-f(c)= \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c)\end{align}$$
طبق فرض قضیه میدانیم که حد $\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)}$ یعنی همان تعریف مشتق در نقطه $c$ یعنی $f'(c)$ که مشتقدر کل یک حد مبهم صفر صفرم است که باید رفع ابهام شود و بعد اگر حد موجود بود بگوییم مشتق وجود دارد که در اینجه طبق فرض گفته این حد مبهم صفر صفر موجود است .
وهمچنین میدانیم اگر تابع $f ,g$ در نقطه $c$ حد داشته باشن آنگاه خواهیم داشت :
$$\lim_{x\to c} f(x) \cdot g(x) =\lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)} \cdot (x-c) =\lim_{x \to c } \dfrac{f(x)-f(c)}{(x-c)}
\cdot \lim_{x \to c } (x -c) \\ =f'(c) \cdot 0 =0$$
در نتیجه ثابت کردیم که :
$$\lim_{x \to c} f(x)-f(c)=0$$
که این یعنی :
$$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$$
که این یعنی در نقطه $c$ پیوسته است .
