Question

با 15 نقطه که فقط 4 تای آنها روی یک خط راست باشند، چند مثلث میتوان ایجاد کرد؟

Answer 1

روش اول :

همانطور که می دانید برای تشکیل یک مثلث به سه نقطه نیاز داریم که هر سه روی یک خط نباشند؛ پس اگر هر سه نقطه مثلث از نقاطی که روی خط راست هستند انتخاب شوند مثلثی تشکیل نمی شود.بنابراین برای تشکیل مثلث سه حالت وجود دارد. اول آنکه هر سه نقطه مثلث از نقاط خارج خط انتخاب شوند.دوم اینکه یکی از نقاط از نقاط روی خط و دوتای دیگر از نقاط خارج خط انتخاب شوند و به همین ترتیب سوم آنکه دو نقطه مثلث از نقاط روی خط و نقطه دیگر از نقاط خارج خط انتخاب شود.با این اوصاف پاسخ برابر است با :

$$\binom{11}{3} + \binom{11}{2}\binom{4}{1} + \binom{11}{1}\binom{4}{2} = 451$$

روش دوم:

از این 15 نقطه هر سه نقطه ای که انتخاب کنیم تشکیل مثلث می دهند به جز حالتی که هر سه نقطه را از روی خط انتخاب کنیم. پس پاسخ برابر است با:

$$\binom{15}{3} - \binom{4}{3} = 451$$