به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
284 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط فرید
ویرایش شده توسط فرید

از بین دو عدد $ \sqrt 7-\sqrt 6$ و $ \sqrt 6-\sqrt 5$ کدام یک بیشتر است؟چرا؟

4 پاسخ

+4 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

در حالت کلی می توان نشان داد برای هر $x>0$ داریم: $$ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}< \sqrt{x+1}-\sqrt x $$ در واقع با اثبات بازگشتی می توان رابطه بالا را اثبات کرد: $$\begin{align}&\sqrt{x+2}+\sqrt x< 2\sqrt{x+1}\\ & \Leftrightarrow 2x+2+2\sqrt{x^2+2x}< 4x+4\\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x}< 2x+2\\ & \Leftrightarrow x^2+2x< x^2+2x+1\\ & \Leftrightarrow 0< 1\end{align}$$

+4 امتیاز
توسط parya
ویرایش شده توسط رها

از روابط زیر استفاده می کنیم $$ \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5}}{ \sqrt{6} + \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5} }{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } \times \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{ \sqrt{7} + \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{7-6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} $$ می دانیم $$ \sqrt{7} > \sqrt{5} $$ پس $$ \sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ یعنی $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } > \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } $$ که اگر دو طرف را معکوس کنیم خواهیم داشت $$ \sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5} $$.

0 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط fardina

به راحتی میتوان نشان داد که تابع زیر روی اعداد بزرگتر از یک نزولی است $f(x)= \sqrt{x}- \sqrt{x-1}$

0 امتیاز
توسط AEbrahimiB

می توان گفت چون تابع رادیکال تقعر رو به پایین دارد پس اختلاف مقادیر آن به ازای اعداد صحیح متوالی رفته رفته کاهش می یابد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...