به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
359 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط فرید (247 امتیاز)
ویرایش شده توسط فرید

از بین دو عدد $ \sqrt 7-\sqrt 6$ و $ \sqrt 6-\sqrt 5$ کدام یک بیشتر است؟چرا؟

4 پاسخ

+4 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

در حالت کلی می توان نشان داد برای هر $x>0$ داریم: $$ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}< \sqrt{x+1}-\sqrt x $$ در واقع با اثبات بازگشتی می توان رابطه بالا را اثبات کرد: $$\begin{align}&\sqrt{x+2}+\sqrt x< 2\sqrt{x+1}\\ & \Leftrightarrow 2x+2+2\sqrt{x^2+2x}< 4x+4\\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x}< 2x+2\\ & \Leftrightarrow x^2+2x< x^2+2x+1\\ & \Leftrightarrow 0< 1\end{align}$$

+4 امتیاز
توسط parya (204 امتیاز)
ویرایش شده توسط رها

از روابط زیر استفاده می کنیم $$ \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5}}{ \sqrt{6} + \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5} }{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } \times \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{ \sqrt{7} + \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{7-6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} $$ می دانیم $$ \sqrt{7} > \sqrt{5} $$ پس $$ \sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ یعنی $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } > \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } $$ که اگر دو طرف را معکوس کنیم خواهیم داشت $$ \sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5} $$.

0 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط fardina

به راحتی میتوان نشان داد که تابع زیر روی اعداد بزرگتر از یک نزولی است $f(x)= \sqrt{x}- \sqrt{x-1}$

0 امتیاز
توسط AEbrahimiB (501 امتیاز)

می توان گفت چون تابع رادیکال تقعر رو به پایین دارد پس اختلاف مقادیر آن به ازای اعداد صحیح متوالی رفته رفته کاهش می یابد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...