کدام یک بزرگتر است؟ $\sqrt 7-\sqrt 6$ یا $\sqrt 6-\sqrt 5$ ؟

Question

از بین دو عدد $ \sqrt 7-\sqrt 6$ و $ \sqrt 6-\sqrt 5$ کدام یک بیشتر است؟چرا؟

Answer 1

در حالت کلی می توان نشان داد برای هر $x>0$ داریم: $$ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}< \sqrt{x+1}-\sqrt x $$ در واقع با اثبات بازگشتی می توان رابطه بالا را اثبات کرد: $$\begin{align}&\sqrt{x+2}+\sqrt x< 2\sqrt{x+1}\\ & \Leftrightarrow 2x+2+2\sqrt{x^2+2x}< 4x+4\\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x}< 2x+2\\ & \Leftrightarrow x^2+2x< x^2+2x+1\\ & \Leftrightarrow 0< 1\end{align}$$

Answer 2

از روابط زیر استفاده می کنیم $$ \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5}}{ \sqrt{6} + \sqrt{5} } = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{5} }{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } \times \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{ \sqrt{7} + \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{6} }{7-6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} $$ می دانیم $$ \sqrt{7} > \sqrt{5} $$ پس $$ \sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5} $$ یعنی $$ \frac{1}{ \sqrt{7} - \sqrt{6} } > \frac{1}{ \sqrt{6} - \sqrt{5} } $$ که اگر دو طرف را معکوس کنیم خواهیم داشت $$ \sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5} $$.

Answer 3

به راحتی میتوان نشان داد که تابع زیر روی اعداد بزرگتر از یک نزولی است $f(x)= \sqrt{x}- \sqrt{x-1}$

Answer 4

می توان گفت چون تابع رادیکال تقعر رو به پایین دارد پس اختلاف مقادیر آن به ازای اعداد صحیح متوالی رفته رفته کاهش می یابد.