من به یک سوال کلی تر فکر کردم . اینکه $n^{n+1}$ بزرگتر است یا $(n+1)^n$ .
در اینصورت با اثبات بازگشتی داریم:
$$n^{n+1} > (n+1)^n\\
\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} < 1\\
\frac 1n(\frac{n+1}n)^n < 1\\
(1+\frac 1n)^n < n$$
اما می دانیم که دنباله $(1+\frac 1n)^n$ دنباله ای صعودی است که به $e$ همگراست لذا $(1+\frac 1n)^n< e< 3$
پس رابطه ی $ (1+\frac 1n)^n< n $ برای هر $n\geq 3$ برقرار است لذا $ n^{n+1}> (n+1) ^ n $ برای هر $n\geq 3$ برقرار است.
پس از جمله برای $n=41$ داریم $41^{42}> 42^{41}$
اگر اون استدلال بالا براتون سخته میتونید با استقرا اثبات کنید.
یا از $f(x)=\frac x{\ln x}$ استفاده کنید. که برای $x> e$ اکیدا صعودی است(با مشتق گیری واضح است) بنابراین $\frac{n}{\ln n}< \frac{n+1}{\ln(n+1)}$ که نتیجه می دهد $n^{n+1}> (n+1)^n$ .
