کدام یک بزرگتر است $42^{41}$ یا $41^{42}$ ؟

Question

عدد $42^{41}$ بزرگ تر است یا $41^{42}$ ؟ لطفا با اثبات جبری بگید.

Answer 1

من به یک سوال کلی تر فکر کردم . اینکه $n^{n+1}$ بزرگتر است یا $(n+1)^n$ .

در اینصورت با اثبات بازگشتی داریم: $$n^{n+1} > (n+1)^n\\ \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} < 1\\ \frac 1n(\frac{n+1}n)^n < 1\\ (1+\frac 1n)^n < n$$

اما می دانیم که دنباله $(1+\frac 1n)^n$ دنباله ای صعودی است که به $e$ همگراست لذا $(1+\frac 1n)^n< e< 3$

پس رابطه ی $ (1+\frac 1n)^n< n $ برای هر $n\geq 3$ برقرار است لذا $ n^{n+1}> (n+1) ^ n $ برای هر $n\geq 3$ برقرار است.

پس از جمله برای $n=41$ داریم $41^{42}> 42^{41}$

---

اگر اون استدلال بالا براتون سخته میتونید با استقرا اثبات کنید.

یا از $f(x)=\frac x{\ln x}$ استفاده کنید. که برای $x> e$ اکیدا صعودی است(با مشتق گیری واضح است) بنابراین $\frac{n}{\ln n}< \frac{n+1}{\ln(n+1)}$ که نتیجه می دهد $n^{n+1}> (n+1)^n$ .