کدام عدد بزرگتر است؟ $A=2^{4^{2^{\dots ^{2^{4}}}}},\;B=4^{2^{4^{\dots ^{4^{2}}}}},\;C=2^{2^{2^{\dots ^{2^{2}}}}}$

Question

کدام یک از اعداد زیر بزرگتر است؟

$$A=2^{4^{2^{\dots ^{2^{4}}}}},\;B=4^{2^{4^{\dots ^{4^{2}}}}},\;C=2^{2^{2^{\dots ^{2^{2}}}}}$$

اعداد $A$ و $B$ و $C$ به ترتیب دارای ۵۰۰ تا $2^4$، ۵۰۰ تا توان $4^2$، و ۲۰۰۰ تا $2$ است.

Answer 1

به نام خدا.

منبع سوال شما المپیاد ریاضی دانش آموزی ایران در سال1388 است.مرجع پاسخ بنده پاسخی است که توسط کمیته علمی المپیاد ریاضی ایران نوشته شده است، می باشد ولی اندکی از لحاظ کلمات تغییر یافته است . لینک سایت در انتهای پاسخ آمده است و شما می توانید با رفتن به قسمت آرشیو آزمون ها آن را ببینید.

فرض کنید که $A_n,B_n$ دارای n تا $2$ و n تا $4$ باشند و $C_n$ دارای $4n$ تا $2$ باشد. اگر به جای n اعداد کوچک بگذارید به یک حدس می رسید که آن هم این است:

$$C_n>A_n>B_n$$

برای اثبات این حدس باید از استقرا کمک گرفت. واضح است که برای $n=2$ حکم درست است. فرض می کنیم که برای $k$ درست باشد. حال نشان می دهیم که برای $k+1$ نیز درست است:

\begin{align} A_{k+1} &= 2^{2^{2A_n}}\\ B_{n+1} &= 2^{2^{B_{n}+1}}\\ C_{n+1} &= 2^{2^{2^{2^{C_{n}}}}} \end{align}

با توجه به فرض استقرا داریم:

$$2A_n>2B_n>B_n+1 \Longrightarrow A_{n+1}>B_{n+1}$$

حال نشان می دهیم که ${2A_n}<2^{2^{C_n}}$.

واضح است که اگر $u$ عددی طبیعی باشد آن گاه $2^{2^u}>2u$ پس می‌توان نوشت:

$$2^{2^{C_n}}>2C_n>2A_n$$

پس حکم ثابت شد.

http://www.mathysc.ir

Answer 2

سلام ابتدا دو عدد A و B را مقایسه می کنیم. برای اینکار روند تشکیل این دو عدد را بررسی می کنیم.

A : $2^4$ ---> $ 2^{ 4^{2} } $ ---> $ 2^{ 4^{ 2^{4} } } $ ---> ...

B : $4^2$ ---> $ 4^{ 2^{4} } $ ---> $ 4^{ 2^{ 4^{2} } } $ ---> ...

به سومین قسمت دو عدد A و B دقت کنید. در سومین قسمتِ A، توان اولین 2، مقدارِ $ 4^{ 2^{4} }$ است. حال به قسمت دوم B نگاه کنید. دومین قسمت B، مقدار $ 4^{ 2^{4} } $ است که با توانِ اولین 2 در سومین قسمتِ A برابری میکند.

این الگو برای تمامِ قسمت های A و B برقرار است. یعنی قسمت n ام عدد A در واقع توانِ قسمتِ n+1 ام B است و بالعکس. حال فرض می کنیم:

A : ... ---> a ---> $2^b$ ---> ...

B: ... ----> b ---> $4^a$ ---> ...

و نیز فرض می کنیم $a>b$، آنگاه حتما $4^a$ بزرگتر از $2^b$ است. ($a>b \Rightarrow 2^a>2^b$ طبق نتیجه بدست آمده $2^a$ بزرگتر از $2^b$ است پس حتما $4^a$ بزرگتر از $2^b$ است.) پس نتیجه می گیریم اگر قسمت k ام A بزرگتر از قسمت k ام B باشد، آنگاه حتما قسمت k+1 ام A کوچکتر از قسمت k+1 ام B است.

قسمت n+2 ام را محاسبه می کنیم:

A : ... ---> $2^{ 4^{a} }= 2^{ 2^{2a} }$ ---> ...

B : ... ---> $ 4^{ 2^{b} } = 2^{ 2^{b+1} } $ ---> ...

میدانیم که $2a>b+1$ زیرا $2a>2b$ و $2b>b+1$ است. پس $2^{ 2^{2a} }$ بزرگتر از $2^{ 2^{b+1} }$ است. اینک نتیجه جالبی بدست آمده است. اگر قسمت k ام A بزرگتر از قسمت k ام B باشد آنگاه حتما قسمت k+1 ام A کوچکتر از قسمت k+1 ام در B است و در قسمت بعد یعنی قسمت k+2، ثابت شد باز A بیشتر از B خواهد شد و چون A بیشتر می شود، چرخه از اول تکرار می شود و تا بینهایت همین الگو تکرار می شود!

پس مقدار بیشتر در قسمت های A و B به صورت نوسانی عمل می کند. به محض آنکه A بیشتر از B شود در قسمت بعدی حتما B بزرگتر از A خواهد شد.

A : $2^4$ ---> $ 2^{ 4^{2} } $ ---> $ 2^{ 4^{ 2^{4} } } $ ---> ...

B : $4^2$ ---> $ 4^{ 2^{4} } $ ---> $ 4^{ 2^{ 4^{2} } } $ ---> ...

در قسمت اول A و B باهم برابرند. در قسمت دوم $A=2^{16}$ و $B=2^{32}$ می شود که B بزرگتر A است. در قسمت سوم $A=2^{2^{32}}$ و $B=2^{2^{17}}$ می شود. که اینبار A بزرگتر از B می باشد پس از این پس یکی در میان، A بزرگتر B خواهد شد. همانطور که دیدید زمانی $A>B$ شد که به تعداد مساوی 2 و 4 در A و B وجود دارد. یعنی زمانی مقدار $A>B$ می شود که به تعداد برابر از 2 و 4 در A و B در عبارت وجود داشته باشد وگرنه B بزرگتر از A خواهد بود. بنابراین وقتی 500 جفت از 2 و 4 وجود دارد یعنی تعداد 2 و 4 با هم برابر است بنابراین:

$2^{4^{2^{4^{...^{4}}}}}>4^{2^{4^{...^{2}}}}$

حال به مقایسه $ 2^{4^{2^{4^{...^{4}}}}} $ و $2^{2^{2^{...^{2}}}}$ می پردازیم. باید ببنیم به ازای چه n جفت از 2 و 4 در $ 2^{4^{2^{4^{...^{4}}}}} $ به چند جفت از 2 نیاز داریم که به توان هم برسند و از حاصل $ 2^{4^{2^{4^{...^{4}}}}} $ بزرگتر باشند. به طول مثال برای:

$2^4<2^{2^{2^{2}}}$

یا

$2^{4^{2^{4}}}<2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}$ برای حدس تعداد 2 باید تابع را مدلسازی تقریبی انجام دهیم. برای اینکار تابعی به نام m تشکلیل می دهیم که اگر به آن تعداد جفت های 4 و 2 را بدهیم به ما تعداد 2 هارا در $2^{2^{2^{...^{2}}}}$ بدهد.

$2^{4^{2^{...^{4}}}}=2^{4^{(2^{4^{...^{4}}})}}$

عبارت داخل پرانتز را با مقدار قبلی شبیه سازی می کنیم.

$2^{4^{2^{...^{4}}}} \sim 2^{4^{(2^{2^{...^{2}}})}}=2^{2^{(2^{(2^{...^{2}}+1)})}}$

با این نوع مدل سازی تعداد 2 ها 2 تا بیشتر از مقدار قبلی می شود (آن 2 تا 2 در پایه که خارج از پرانتز هستند به قبلی اضافه می شود) پس برای m داریم:

$m(x)=m(x-1)+2$

الگوی بالا شاید نتواند حداقل تعداد 2 را محاسبه کند اما با تقریب خوبی تعداد 2 را محاسبه می کند و ما می دانیم که حتما با این تعداد 2 هایی که به توان هم می رسند حتما حاصل بیشتر از $2^{4^{2^{...^{4}}}}$ می شود.

$m(2^4)=4$ و $m(2^{4^{2^{4}}})=m(2^4)+2=4+2=6$

و ...

(1,4)(2,6)(3,8)...

الگوی بالا توسط فرمول زیر تولید می شود.

$k=2n+2 : (n,k)$

بنابراین اگر 500 جفت 2 و 4 داشته باشیم، می توانیم با 1002 تا عدد 2 که به توان هم می رسند ($2^{2^{2^{...^{2}}}}$) عددی را بسازیم که از 500 جفت 4 و 2 در $2^{4^{2^{...^{4}}}}$ بیشتر شود! بنابراین عددی به این صورت $2^{2^{...^{2}}}$ که 2000 تا 2 دارد با اختلاف بسیار زیادی بیشتر از $2^{4^{2^{...^{4}}}}$ است!

بنابراین بیشترین مقدار را عدد C دارد.

قسمت مدل سازی بسیار طولانی بود به همین دلیل آن را خلاصه کردم.