دلیل اینکه : هر عبارت به صورت $\sqrt[n]{A+B\sqrt[m]C}$ را میتوان به صورت $A+B\sqrt[m]C=(x+y\sqrt[m]C)^n$ نوشت

Question

چرا هر عبارت به صورت زیر : $$\sqrt[n]{A+B\sqrt[m]C}$$

را میتوان به صورت :

$$A+B\sqrt[m]C=(x+y\sqrt[m]C)^n$$

نوشت ؟ آیا همچین چیزی درست است. اگر بله چرا ؟

Answer 1

به کمک استقراء ریاضی.

واضح است که حکم برای $1$ درست است زیرا:

$(x+y \sqrt[m]{C} )^1=x+y\sqrt[m]{C} $

یعنی $A=x$ و $B=y$.

حالا فرض کنید که حکم برای $n$ درست باشد یعنی مقدیر $A$ و $B$ موجود باشند که:

$(x+y \sqrt[m]{C})^n=A+B \sqrt[m]{C} \Rightarrow $

$(x+y \sqrt[m]{C})^{n+1}=(x+y \sqrt[m]{C})(x+ \sqrt[m]{C})^n=(x+y \sqrt[m]{C})(A+B \sqrt[m]{C})$

$=(xA)+xB \sqrt[m]{C}+Ay \sqrt[m]{C} +yB \sqrt[m]{C} \sqrt[m]{C}=xA+(xB+Ay+yB \sqrt[m]{C}) \sqrt[m]{C}$

و این استدلال درستی $n+1$ را نشان می دهد.پس حکم برای هر عدد طبیعی درست است.

$ \Box $