اگر $p(x)$ درجه $n$ باشد به طوری که $p(k) = \frac{k}{k+1} $ به ازای $k = 0,1,...,n$ ، $p(n+1)$ را بیابید .

Question

اگر $p(x)$ یک چند جمله ای درجه $n$ باشد به طوری که $p(k) = \frac{k}{k+1} $ به ازای $k = 0,1,...,n$ ، $p(n+1)$ را بیابید .

راهنمایی :

چند جمله ای $g(x) = (x+1)p(x)-x$ را که از درجه $n+1$ است در نظر بگیرید .

Comments

x=0,....x=n ریشه های g(x) میشن.حالا g(x) رو تجزیه کن و ضریب ثابتش رو از روی اینکه g(-1)=1 پیدا کن.حالا از روی این ضابطه p(x) به دست میاد و مسئله حل میشه.

---

$g(x)$ رو به صورت $g(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n)q(x)$ تجزیه کردم چون $g(-1) = 1 $  بنابراین $q(x)$ برابر است با
$ \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} $ پس : $ (x+1)p(x)-x = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n) $

در نتیجه :
$p(x) =  \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n)+x}{x+1} $ , پس به ازای $x=n+1$ , $p(x) =  \frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2} $  ،

---

درست حل کردی فقط به جای q(x) از یه ضریب ثابت استفاده کن.
این راه حل رو به عنوان پاسخ این سوال منتشر کن.

Answer 1

این پرسش به روش‌های گوناگون حل می‌شود. تمام نکتهٔ آن این است که یک چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ با $n+1$ مقدارش به طور یکتا مشخص می‌شود (مانند این که می‌گوئید یک خط در فضای اقلیدسی با دو نقطه‌اش به طور یکتا مشخص می‌شود).

• روش یک: یک چندجمله‌ای درجهٔ $n$ به شکل $$a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ است. با داشتن $n$ مقدار آن به ازای $n+1$ ایکس متمایز، شما یک دستگاه خطی $n+1$ معادله-$n+1$ مجهول دارید که مجهول‌هایتان $a_0$ تا $a_n$ هستند.

• روش دو: استفاده از چندجمله‌ای‌های درون‌یاب که در درس آنالیز عددی یک با آنها آشنا می‌شوید.

Answer 2

$g(x)$ رو به صورت $g(x) = ax(x-1)(x-2)...(x-n)$ تجزیه کردم چون $g(-1) = 1 $ بنابراین $a$ برابر است با $ \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} $ پس : $ (x+1)p(x)-x = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n) $

در نتیجه : $p(x) = \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n)+x}{x+1} $ , پس به ازای $x=n+1$ , $p(x) = \frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2} $