نظریه اندازه

Question

اگر $(X,A, \mu ) $ یک فضای اندازه باشد و اگر $E_1 \subset E_2 \subset .... \subset E_n \subset ... $ باشد نشان دهید $ \mu ( \bigcup_1^ \infty E_n)= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu E_n $ اگه راهنمایی بکنید ویا اثباتشو بگید ممنون میشم

Comments

اثبات این مطلب در تمام کتاب های انالیز حقیقی موجود هست. مشکلتون کجاس؟

Answer 1

قرار می دهیم $ E_{1} = \emptyset $ و $ F_{n} = E_{n} - E_{n-1} $ که در این صورت $ F_{n} $ ها از هم جدا هستند پس $$ \bigcup_1^ \infty F_{n} = \bigcup_1^ \infty E_{n} $$ $$ mu \big( \bigcup_1^ \infty F_{i} \big) = \mu \big( \bigcup_1^ \infty E_{i} \big)= \sum_1^\infty \mu \big( E_{i} \big) = \lim_{n \rightarrow \infty } \mu \big( \bigcup_1^ n ( E_{i}-E_{i-1} ) \big)= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu (E_{n} )$$