برای توضیح این مطلب مرحله مرحله پیش میرویم.
ابتدا اگر توانها اعداد صحیح باشند آنگاه برای هر $m,n $ و هر عدد ناصفر $ a $ داریم:
$$ (a^{n} ) ^{m} = a^{mn} $$
اما اگر بخواهیم توانها را اعداد گویا در نظر بگیریم دامنه ی تعریف رابطه به پایه مثبت تغییر مییابد یعنی برای هر $ a > 0 $ داریم:
$$ (a^{x} ) ^{y} = a^{xy} $$
با یک مثال ساده مشکلی که در هنگام استفاده از پایه ی منفی پیش می آید را نشان میدهم:
$$ -3=((-3)^{2} )^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{(-3)^{2} } = \sqrt{9} =3 $$
که بوضوح غلط است.
در مرحله ی آخر برای هر عدد حقیقی دنباله ای از اعداد گویا که به آن عدد میل می کنند وجود دارد و با تعریف زیر نحوه محاسبه اعداد با توان عد د حقیقی بدست می آید.
$$ a^{x} = \lim_{r \rightarrow x} a^{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (r \in Q) $$
در واقع از پیوستگی تابع $f(r)= a^{r} $ استفاده میکنیم. . که این تابع فقط زمانی توسیع پیوسته ای (یکتا است) به تمام اعداد حقیقی دارد که پایه مثبت باشد.
لذا درکل رابطه ی بالا زمانی برای تمام اعداد دلخواه $x,y $ برقرار است که پایه مثبت باشد.
