اگر $ R$ یک حلقه و $x= x_{1} ,... .x_{i} $ یک رشته در $ R$ و $M $ یک $ R $ مدول باشد قرار می دهیم $x ^{'} = x_{1} ,... .x_{i-1} $ آنگاه دنباله ی دقیق زیر را داریم:
$$... \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k} (x ^{'},M) \rightarrow H_{k} (x ,M) \rightarrow H_{k-1} (x ^{'},M)(-1) \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k-1} (x ^{'},M) \rightarrow ... $$
که به ازای هر $k,l $ دنباله ی دقیق از فضاهای برداری زیر القا میشود(چون مدرج است لذا میتوانیم فقط مولفه های از در جه ی
$ k+l $ را در نظر میگیریم )
$$... \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k} (x ^{'},M)_{k+l} \rightarrow H_{k} (x ,M)_{k+l} \rightarrow H_{k-1} (x ^{'},M)(-1)_{k+l} \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k-1} (x ^{'},M)_{k+l} \rightarrow ... $$
حال از نکته ی $M(-i)_{k}=M_{k-i} $ جمله ی $H_{k-1} (x ^{'},M)(-1)_{k+l} $ به صورت
$ H_{k-1} (x ^{'},M)_{k+l-1}$ در می آید و برای اینکه همولوژی $k-1 $ را داریم بجای $ k+l-1$ مینویسیم $k-1+l$ هم چنین بجای $k+l$ در $ H_{k-1} (x ^{'},M)_{k+l} $
مینویسیم $k-1+l+1 $
برای درک بهتر میتوانید به کتاب هرزوگ برونز، فصل اول ، نتیجه ی $1.6.13$ مراجعه کنید.
