معادلات ضمنی و صریح .فرمول مشتق ضمنی

Question

با سلام

معادلات ضمنی و صریح را تعریف کنید .!

و فرمول مشتق ضمنی را بدست آورید..؟

واینکه معادلات ضمنی اگر تابع نباشند آیا میتوان از از مشتق گرفت ؟چرا؟

Answer 1

هر معادله ای به صورت $f(x_1,x_2,...,x_n)=0$ که $f$ یک تابع از چند متغیر است را یک معادله ضمنی می نامند.

به عنوان مثال معادله ضمنی دایره به مرکز $(0,0)$ و شعاع $1$ برابر است با $x^2+y^2-1=0$ .همونطور طور که میبینید این معادله به طور صریح $y$ بر حسب $x$ داده نشده است.

گوییم $غ$ به طور صریح بر حسب $x$ بیان شده هرگاه $y=f(x)$ . به عنوان مثال در $2x+3y=5$ داریم $y=\frac{-2x+5}{3}$ .

در بعضی مواقع می توان $y$ را به طور صریح $x$ نوشت در اینصورت به روش معمولی می توانیم از آن مشتق بگیریم مثلا در مثال اخیر داریم $y=\frac{-2x+5}{3}$ و لذا $y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-2}3$ . ولی چنانچه نتوانیم فرمولی صریح برای توابع ضمنی پیدا کنیم در اینصورت می توانیم با استفاده از قاعده زنجیری مشتق آن را حساب کنیم. حتی گاهی اوقات بهتر است به جای اینکه سعی کنیم فرمولی صریح بر حسب $x$ پیدا کنیم از قاعده زنجیری استفاده کنیم به عنوان مثال برای مشتق مثال اولی که زدیم $x^2+y^2-1=0$ داریم: $2x+2y'y=0$ و لذا $y'=\frac{-2x}{2y}$ .

اگر تابع ضمنی دو متغیره باشد یعنی $f(x,y)=0$ در اینصورت در مقاطع بالاتر در قضیه تابع ضمنی ثابت می شود که $y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{f'_x}{f'_y}$ . در واقع اگر از طرفین $f(x,y)=0$ برحسب $x$ مشتق بگیریم داریم $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$ و بنابراین $\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{f'_x}{f'_y}$ . که در آن منظور از $f'_x$ و $f'_y$ مشتق نسبت به $x$ و $y$ می باشد.

Comments

@fardina
سلام و وقت بخیر.
بنده درباره پاسخ شما، یک سوالی را در پست زیر مطرح کردم.
اگر براتون مقدوره، لطفا یک نگاهی بکنید.
ممنونم
https://math.irancircle.com/21564/%DA%86%D8%B1%D8%A7-%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84-%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82-%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C-%D8%B6%D9%85%D9%86%DB%8C-%D8%A8%D9%87-%D8%AF%D8%B1%D8%B3%D8%AA%DB%8C-%D8%AC%D9%88%D8%A7%D8%A8-%D9%85%DB%8C-%D8%AF%D9%87%D8%AF%D8%9F

Answer 2

به یک تابع زمانی صریح می‌گوییم که دقیقاً به ما نشان دهد چگونه از x به y می رویم، مانند: y = x^3 – 3

در این وضعیت اگر x را بدانیم، می توانیم y را بیابیم. این همان مدل کلاسیک تابع زیر است.

y = f(x)

تابع ضمنی تابعی است که به طور مستقیم ارائه نمی‌شود مانند:

x^2 – 3xy + y^3 = 0

در تابع فوق اگر x را بدانیم، y را چگونه می‌یابیم؟ شاید سخت و یا حتی غیر ممکن باشد که مستقیماً از x به y برسیم. اصطلاح «ضمنی» از “واژه ضمن عریی گرفته شده که به معنی غیر مستقیم است.