چرا فرمول مشتق گیری ضمنی به درستی جواب می دهد؟

Question

در حساب دیفرانسیل چند متغیره اگر داشته باشیم $z = f(x,y) $ آنگاه داریم: $ dz = f_{x}dx + f_{y}dy $ حال فرض می‌کنیم عبارت $F(x,y) = 0$ متغیر y را به‌طور ضمنی و مشتق پذیر از x تعریف می‌کند. چون برای مثال داریم $z = F(x,y) = 0 $ پس داریم $ \frac{dz}{dx} = 0 $. پس نتیجه می‌گیریم که: $0 =\frac{dz}{dx} = F_{x}\frac{dx}{dx} +F_{y}\frac{dy}{dx} $ پس داریم: $ F_{x} +F_{y}\frac{dy}{dx} = 0$ و در آخر: $ \frac{dy}{dx} = \frac{-F_{x}}{F_{y}}$ حال سؤال دربارهٔ این است که دلیل اینکه $ \frac{dz}{dx} $ برابر صفر قرار دادیم این بود که $z = F(x,y) = 0 $ و این یعنی z و F دو عبارت همیشه صفر هستند. پس از اینجا نتیجه می‌شود که $ F_{x} وF_{y}$ هم همیشه صفر خواهند بود. و نتیجه می‌شود که فرمولی که برای مشتق ضمنی به دست آمده، غلط است. مشکل این استدلال دقیقاً در کجا است؟

Comments

s.j.sss@

شما از کجا چنین استدلالی را آوردید که بیان می کنید؟ اصلا مفهوم مطلب را درک کرده اید؟؟!!

---

@mahdiahmadileedari
این فرمول را قدیم در ریاضی 2 دیده بودم. یک مقدار فکر کردم این به ذهنم زد که چرا این فرمول درسته.(با توجه به توضیحات)

Answer 1

استدلال به این صورت است که تعریف می کنیم $g(x,y,z)=f(x,y)-z$ . بنابراین $g(x,y,z)=0$ . پس $ \frac{\partial g}{\partial x}=0 $ . از طرفی طبق قاعده مشتق گیری زنجیره ای $\frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial x} \times \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y } \times \frac{dy}{dx} $ .اما $\frac{dx}{dx}=1$ پس :

$0=f_{x}+f_{y} \times \frac{dy}{dx}$

$ \Rightarrow $ $\ \frac{dy}{dx}= -\frac{f_{x}}{f_{y}} $

و اثبات تمام شد .