Question

الگوريتم تقسيم :

به ازای اعداد صحیح $a$ و $b$ که $b \neq 0$ است اعداد صحیح یکتایی

مانند q و r وجود دارند به طوریکه:

$$a=bp+r$$

$$0 \leq r < |b|$$

دو سوال :

1_)چرا تاكيد شده اعدادصحيح يكتا ؟

2-)چرا $0 \leq r < |b|$ ؟

Answer 1

آیا اثبات قضیه الگوریتم تقسیم رو خوندید؟ در اثبات هر دوی اینها اثبات می شوند.

در واقع در اثبات قضیه، مجموعه $\lbrace a-|b|q> 0: q\in\mathbb Z\rbrace$ را در نظر میگیریم و نشان می دهیم که غیر تهی است و دارای کوچکترین عضو است و کوچکترین عضو آن را با $r$ نمایش می دهیم. یعنی به ازای عددی صحیح $q$ داریم $r=a-b|q|$ . اگر $r> |b|$ در اینصورت $r-b=a-b(q+1)$ که بنابر تعریف عضوی از مجموعه ی بالا است. اما $r-|b|< r$ که این با کوچکترین عضو بودن $r$ در تناقض است. پس باید $r\leq |b|$ .

برای دومی هم فرض کنیم که یکتا نباشند یعنی $$a=bq+r \quad 0\leq r< |b|$$ $$a=bq'+r' \quad 0\leq r'< |b'|$$

اگر $r\neq r'$ پس می توانیم فرض کنیم $r'> r$

در اینصورت $r'-r=|b|(q-q')$ یعنی $|b||r'-r$ و لذا $b\leq r'-r$ . در حالیکه از $ 0\leq r< |b|, 0\leq r'< |b'|$ نتیجه می شود $r'-r< |b|$ که تناقض است. پس $r'=r$ و لذا $|b|(q-q')=0$ و چون $b\neq 0$ پس $q-q'=0$ لذا $q=q'$.

Comments

@fardina
ممنون بابت پاسخ:فقط:
ايا براي اثبات الگوريتم تقسيم فقط ميتوان از اين روش اثبات كرد؟
و اينكه در الگوريتم تقسيم باتوجه به گفته شما ميتوان گفتد كه $p,r$اعداد حسابي هستند ومنفي نيستند.ولي $a,b$ تمام اعداد صحيح راشامل ميشوند  .و طبق رابطه$a,b$همواره هم علامت هستند؟درسته؟