به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,961 بازدید
در دبیرستان توسط

الگوريتم تقسيم :

به ازای اعداد صحیح $a$ و $b$ که $b \neq 0$ است اعداد صحیح یکتایی

مانند q و r وجود دارند به طوریکه:

$$a=bp+r$$

$$0 \leq r < |b|$$

دو سوال :

1_)چرا تاكيد شده اعدادصحيح يكتا ؟

2-)چرا $0 \leq r < |b|$ ؟

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

آیا اثبات قضیه الگوریتم تقسیم رو خوندید؟ در اثبات هر دوی اینها اثبات می شوند.

در واقع در اثبات قضیه، مجموعه $\lbrace a-|b|q> 0: q\in\mathbb Z\rbrace$ را در نظر میگیریم و نشان می دهیم که غیر تهی است و دارای کوچکترین عضو است و کوچکترین عضو آن را با $r$ نمایش می دهیم. یعنی به ازای عددی صحیح $q$ داریم $r=a-b|q|$ . اگر $r> |b|$ در اینصورت $r-b=a-b(q+1)$ که بنابر تعریف عضوی از مجموعه ی بالا است. اما $r-|b|< r$ که این با کوچکترین عضو بودن $r$ در تناقض است. پس باید $r\leq |b|$ .

برای دومی هم فرض کنیم که یکتا نباشند یعنی $$a=bq+r \quad 0\leq r< |b|$$ $$a=bq'+r' \quad 0\leq r'< |b'|$$

اگر $r\neq r'$ پس می توانیم فرض کنیم $r'> r$

در اینصورت $r'-r=|b|(q-q')$ یعنی $|b||r'-r$ و لذا $b\leq r'-r$ . در حالیکه از $ 0\leq r< |b|, 0\leq r'< |b'|$ نتیجه می شود $r'-r< |b|$ که تناقض است. پس $r'=r$ و لذا $|b|(q-q')=0$ و چون $b\neq 0$ پس $q-q'=0$ لذا $q=q'$.

توسط amirm20 (1,105 امتیاز)
@fardina
ممنون بابت پاسخ:فقط:
ايا براي اثبات الگوريتم تقسيم فقط ميتوان از اين روش اثبات كرد؟
و اينكه در الگوريتم تقسيم باتوجه به گفته شما ميتوان گفتد كه $p,r$اعداد حسابي هستند ومنفي نيستند.ولي $a,b$ تمام اعداد صحيح راشامل ميشوند  .و طبق رابطه$a,b$همواره هم علامت هستند؟درسته؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...