Question

در صورتی که عدد زیر اول و $x$ طبیعی باشد، $x$ را بیابید: $$ x^{4} -3 x^{2} +9$$ المپیاد ریاضی بلگراد 2021

Answer 1

$$ x^{4} -3 x^{2} +9= x^{4} +6 x^{2} +9-9 x^{2} = ( x^{2} +3)^{2} - (3x)^{2} =( x^{2} +3x+3)( x^{2} -3x+2) \wedge x^{4} -3 x^{2} +9 is prime \Longleftrightarrow x^{2} +3x+3=1 \Longrightarrow x=-1 \vee x=-2 \Longleftrightarrow x not natural \vee x^{2}-3x+3=1 \Longrightarrow x=1 \Longrightarrow x^{4} -3 x^{2} +9=7 \vee x=2 \Longrightarrow x^{4} -3 x^{2} +9=13$$

Answer 2

عبارت را تجزیه می کنیم با توجه به اینکه حداقل توان ایکس دو هست احتمالاً می‌توان آن را به صورت ²( ) - ²( ) نوشت که به راحتی با اتحاد مزدوج به شکل ضرب دو عبارت در می‌آید که یکی از این عبارت‌ها باید عدد یک باشد:

x⁴ - 3x² + 9 = (x² + 3)² - (3x)² = (x² - 3x + 3)(x² + 3x + 3)

دقت شود که x عددی طبیعی است پس قطعا عبارت x² + 3x + 3 از یک بزرگتر است پس داریم:

x² - 3x + 3 = 1

در نتیجه x برابر ۱ یا ۲ است و اگر x دو باشد عبارت داده شده در سوال برابر عدد اول ۱۳ و اگر x یک باشد برابر عدد اول ۷ است.