Question

برای اینکه در یک جلسه، با احتمال ۵۰٪، حداقل دونفر دارای تاریخ تولد(روز و ماه) یکسان باشند، آن جلسه باید دارای حداقل چند نفر باشد؟

Comments

جواب ۲۳ است.

Answer 1

ایده ای برای حل:

فرض کنید جلسه از $n$ تشکیل شده است و سال $365$ روز است.برای تعین تکلیف تاریخ تولد افراد به صورت تصادفی فرض کنید که افراد مهره های یکسان هستند و آنها را در $365$ جعبه کنار هم قرار می دهیم.افرادی که در یک جعبه قرار می گیرند تاریخ تولد یکسان دارند.اگر $S$ فضای نمونه باشد و $A$ پیشامد خواسته شده در مسأله،برای پیشامد $A$ اول دو مهره را در یک جعبه قرار می دهیم (این کار با $365$ حالت ممکن امکان دارد(چرا؟).) و $n-2$ مهره دیگر را در $365$ جعبه.بنابراین:

$$|S|= \binom{n+364}{364} ,|A|= 365 \times \binom{n+362}{364}$$

$$\Rightarrow P(A)= \frac{|A|}{|S|} = \frac{365 \times \binom{n+362}{364}}{\binom{n+364}{364}}= \frac{1}{2}$$

و از اینجا حداقل $n$ به دست می آید.

$\Box$

Answer 2

فرض میکنیم P(A) احتمال مذکور در مسئله است پس داریم:

P(A)>1/2 یا P(A)=1/۲

P(Ā)=1/2 یا P(Ā)<1/2

و داریم:

P(Ā)=365/365×364/364×363/365×...×(365-(n-1))/365 = 365!/((365^n)×(365-n)!) < 1/2

جواب ۲۳ خواهد بود.