آیا اثبات قضیه الگوریتم تقسیم رو خوندید؟ در اثبات هر دوی اینها اثبات می شوند.
در واقع در اثبات قضیه، مجموعه $\lbrace a-|b|q> 0: q\in\mathbb Z\rbrace$ را در نظر میگیریم و نشان می دهیم که غیر تهی است و دارای کوچکترین عضو است و کوچکترین عضو آن را با $r$ نمایش می دهیم. یعنی به ازای عددی صحیح $q$ داریم $r=a-b|q|$ . اگر $r> |b|$ در اینصورت $r-b=a-b(q+1)$ که بنابر تعریف عضوی از مجموعه ی بالا است. اما $r-|b|< r$ که این با کوچکترین عضو بودن $r$ در تناقض است. پس باید $r\leq |b|$ .
برای دومی هم فرض کنیم که یکتا نباشند یعنی
$$a=bq+r \quad 0\leq r< |b|$$
$$a=bq'+r' \quad 0\leq r'< |b'|$$
اگر $r\neq r'$ پس می توانیم فرض کنیم $r'> r$
در اینصورت $r'-r=|b|(q-q')$ یعنی $|b||r'-r$ و لذا $b\leq r'-r$ . در حالیکه از $ 0\leq r< |b|, 0\leq r'< |b'|$ نتیجه می شود $r'-r< |b|$ که تناقض است. پس $r'=r$ و لذا $|b|(q-q')=0$ و چون $b\neq 0$ پس $q-q'=0$ لذا $q=q'$.
