فرمول مساحت سطح جانبی مخروط

Question

سلام. مخروطی با یال به درازای $\ell$ داریم (منظور از یال مخروط یک خط از نوک مخروط به یک نقطه بر روی محیط دایرهٔ قاعدهٔ آن است) و شعاع به درازای $r$ در نظر بگیرید. فرمول مساحت سطح جانبی مخروط (بدون دایرهٔ قاعده‌اش) برابر است با $\pi r\ell$. ولی من این طور فکر کردم که این یال به اندازهٔ محیط قاعده مخروط که به شکل دایره هست یعنی $2\pi r$ دوران یافته و مساحت جانبی مخروط را تشکیل می‌دهد. پس آیا نباید مساحت سطح جانبی برابر با $2\pi r\ell$ باشد؟

Answer 1

Answer 2

با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال ثابت می‌کنیم.

نکته : اگر نمودار تابع $y = f(x)$ در بازه $[a,b]$ حول محور $x$ دوران دهیم مساحت جانبی شکل حاصل از فرمول زیر بدست می آید:

$$2 \pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+ f'(x)^2 } \ \ dx$$

حال فرض کنید می خواهیم مساحت جانبی مخروطی را بیابیم که شعاع قاعده آن $r$ و طول یال آن $l$ است . برای این کار کافی است خط به معادله

$$y = \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}}x$$ را حول محور $x$ در بازه $[0,\sqrt{l^2-r^2}]$ دوران دهیم تا مخروطی به شعاع قاعده $r$ و طول یال $l$ بدست آید . به شکل زیر توجه کنید :( برای مشاهده بهتر شکل $zoom$ کنید)

توجه‌: در شکل بالا نقطه $A$ به مختصات $(\sqrt{l^2-r^2},r)$ است . حال داریم :

$$f' (x)= \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}}$$ پس با استفاده از فرمول بالا مساحت جانبی مخروط برابر است با: $$2 \pi \int_0^\sqrt{l^2-r^2}( \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}}x)\sqrt{1+(\frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}})^2}\ \ dx$$ $$= \pi rl$$

Answer 3

برای دیدن اثبات مساحت جانبی مخروط به لبنک زییر مراجعه فرمایید