نا مساوی زیر را برای اعداد حقیقی مثبت a1,...an ثابت کنید

Question

$$\frac{ a_{1} }{ a_{2} ^{2}+ a_{3} ^{2}+...+ a_{n} ^{2}}+\frac{ a_{2} }{ a_{1} ^{2}+ a_{3} ^{2}+...+ a_{n} ^{2}}+...+\frac{ a_{n} }{ a_{2} ^{2}+ a_{3} ^{2}+...+ a_{n-1} ^{2}} \geq \frac{ 4}{ a_{1}+ a_{2} + a_{3}+...+ a_{n}}$$ من ساده تر کردم و به این رسیدم $$ \ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{ a_{i} ^{2} }{ \sum_{j \neq i} a_{j} ^{2}}} \geq 2 $$

Comments

شهودی رابطه‌ای که ساده‌کردید به آن هم‌ارز رابطهٔ نخستین نیست. نخستین دلیلم این است که زیگمایتان روی چه هست؟ هیچ اندیسی در رادیکالتان ندارید که بخواهد تغییر کند بنابراین حاصل زیگمیاتان برابر خود رادیکالتان ضربدر عدد اصلی مجموعهٔ اندیس زیگمایتان می‌شود! دومین دلیل این است که رابطهٔ نخست دارای تقارن تحت گروه جایگشت‌های $n$ تایی است ولی رابطهٔ دومتان خیر! در ساده‌سازی‌تان اشتباه دارید. دوباره چکش کنید. اگر اشکالش را نیافتید، ساده‌سازی‌تان را بنویسید تا بگویم کجایش اشتباه کرده‌اید.

---

منظورم از سیگما مجموع رادیکال های هست (که در واقع هم مانند کسر های صورت مسئله هستند به تفاوت این که صورت های به توان دو رسیده). در واقع من ابتدا کسر ها در مجموع  a_i ها ضرب کردم و با استفاده از نامساوی کوشی عبارت سیگما رو بدست اورده ام.

---

@Neseli جمله‌ای که در مورد زیگمایتان نوشتید نامفهوم است. با ضرب کردن طرفین در جمع $a_i$ها که باید حواستان به علامت این عبارت باشد چون که می‌تواند جهت نامساوی را تغییر بدهد! به هر حال با ضرب طرفین در این جمع و با فرض اینکه این جمع مثبت است به این عبارت می‌رسید
$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^2+\sum_{j\neq i}a_ia_j}{\sum_{j\neq i}a_j^2}\geq 4$
این با چیزی که نوشتید زمین تا آسمان فرق دارد. حتی اگر بعد از انجام عملیات دیگری ساده‌تر شده باشد باز هم در جمع‌وند زیگمای شما اندیس تغییرکننده‌ای نیست یک عبارت ثابت است که مستقل از اندیس‌گذار زیگمایتان خواهد بود. پس حاصل یک اسکالر برابر عبارتی که برای جمع‌وند نوشته‌اید خواهد شد! متوجه منظورم می‌شوید؟

بعلاوه توضیح بدهید چرا می‌توانید از نامساوی کوشی استفاده کنید و اینکه چه چیزی را به چه چیزی تبدیل می‌کنید. هنوز ساده‌سازی‌تان شبیه یک پرش از پرسش به عبارتی است که نوشته‌اید و عبارتی که نوشته‌اید اشتباه است. مطمئنا چنیدن اشتباه دارید. هدف این است که نقاطی که اشتباه کردید را بیابید سپس برگردید به آن نقطه و از آنجا مسیر را تصحیح کنید تا به عبارت درست برسید.

---

حق با شماست من اندیس های سیگما را تصحیح کردم. در واقع این سوال در بخش نا مساوی کوشی کتاب پرسیده شده برای همین بنابر نا مساوی کوشی داریم که
<math>$$( \sum_{i=1}^n a_{i})( \sum_{i=1}^n   \frac {a_{i}}{ \sum_{ j\neq i}^b a_{j}^{2}}) \geq \ (\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{ a_{i} ^{2} }{ \sum_{j \neq i}   a_{j} ^{2}}})^{2}  $$</math>
در نتیجه باید اثبات کرد که
$$\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{ a_{i} ^{2} }{ \sum_{j \neq i}   a_{j} ^{2}}}  \geq 2
$$

---

در مورد علامت چون ai ها مثبت هستند تغییر نمی کند.

---

@Neseli برای اینکه مخاطب خاص دیدگاهتان در هنگام قرار دادن دیدگاهتان پیام دریافت کند و متوجه شود که چیزی برایش نوشته‌اید در ابتدای دیدگاهتان از علامت اتسای+نام‌کاربری استفاده کنید همانند کاری که من در دیدگاه‌هایم اینجا انجام دادم.
- خب باید در متن پرسش اضافه کنید که $a_i$ها مثبت هستند وگرنه چیز دیگری در متن پرسش‌تان نیست که چنین نتیجه‌ای بدهد و حکم پرسش‌تان مثال‌نقض خواهد داشت!
- نکتهٔ دیگر این است که چیزی که نوشته‌اید ساده‌شدهٔ نامساوی پرسش نیست چون نامساوی کوشی همانگونه که اسمش می‌رساند نامساوی است نه مساوی پس در مرحلهٔ آخر کارتان عبارت هم‌ارز ننوشته‌اید بلکه گفته‌اید که اگر یک مقداری که می‌دانم کمتر یا مساوی سمت چپ است از سمت راست بزرگتر یا مساوی شود، آنگاه از ویژگی ترایایی رابطهٔ کوچکتری، حکم نتیجه می‌شود. پس یک شرط کافی است ولی لازم نیست. ممکن است بگوئید این ریزه‌کاری‌ها شاید مهم نباشد ولی اگر به این طرز نوشتن عادت کنید علاوه بر اینکه جملاتتان ارزش منطقی نادرست خواهند داشت، در پرسش دیگری ممکن است یک شرط کافی را دوباره با یک شرط هم‌ارز اشتباه بگیرید و چون شرط کافی برقرار نبود بگوئید رابطهٔ اولی نیز نادرست است در حالیکه فقط از برقراری شرط کافی می‌شود نتیجه‌ای داشت و از برقرار نبودنش هیچ نتیجه‌ای در مورد درست و نادرست بودن رابطهٔ اولیه نمی‌توان گرفت.

---

@Neseli
دیدگاه دومتون به بعد :
میدونیم که :

$$a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 = 1$$

چرا ؟
در نتیجه باید اثبات کنید :

$$\frac{a_1}{\sqrt{1-a_1^2}} + \frac{a_2}{\sqrt{1-a_2^2}}+ \ ... \ +\frac{a_n}{\sqrt{1-a_n^2}} \ge 2$$

چگونه اثبات میکنید ؟
تعریف میکنید :

$x_m = \frac{a_m}{\sqrt{1-a_m^2}} \ \forall \ 1 \le m \le n$

در نتیجه ثابت کنید که :

 $$x_1 + x_2 + ... + x_n \ge 2$$