بنام خداوند بخشنده و مهربان
با توجه به اینکه صورت سوال بهدقت نوشته نشده، ابتدا آنرا بازنویسی میکنم.
سوال: برای مجموعههای دلخواه
$ A_{1},A_{2},...,A_{n} $
و
$ B_{1},B_{2},...,B_{n} $
و برای $ n $ متناهی ثابت کنید:
$$ ( A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2}\cap...\cap B_{n})\subset ( A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup ( A_{2}\bigtriangleup B_{2}) \cup ... \cup ( A_{n}\bigtriangleup B_{n}) $$
پاسخ: بدون کاستن از کلیت مسأله فرض می کنیم که
$ n=2 $.
با توجه به تعریف تفاضل متقارن دو مجموعه داریم:
$$( A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2})\subset (A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup ( A_{2}\bigtriangleup B_{2}) $$
برای اثبات کافی است عضوی در مجموعه ی سمت چپ در نظر بگیریم و ثابت کنیم در مجموعه ی سمت راست قرار دارد. فرض می کنیم
$ x \in ( A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2}) $
. با توجه به تعریف تفاضل متقارن مجموعهها داریم:
$$ (A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2}) = ( A_{1}\cap A_{2}) \cup (B_{1}\cap B_{2}) \setminus (A_{1}\cap A_{2})\cap( B_{1}\cap B_{2}) $$
بنابراین $ x \in (A_{1}\cap A_{2}) $ یا $ x \in (B_{1}\cap B_{2}) $ و $x \notin (A_{1}\cap A_{2} \cap B_{1}\cap B_{2}) $
فرض میکنیم $ x \in (A_{1}\cap A_{2}) $
بنابراین $ x \in (A_{1} \bigtriangleup B_{1})$
یا $ x \in (A_{2} \bigtriangleup B_{2})$.
زیرا با توجه به اینکه $ x \notin (A_{1}\cap A_{2} \cap B_{1}\cap B_{2}) $
پس
$ x \notin B_{1} $
یا
$ x \notin B_{2} $.
اگر
$ x \notin B_{1} $
آنگاه
$$x \in (A_{1}\cup B_{1}) , x\notin (A_{1}\cap B_{1}) \Rightarrow x \in (A_{1}\bigtriangleup B_{1}) $$
و اگر
$ x \notin B_{2} $
آنگاه با استدلالی مشابه خواهیم داشت: $ x \in (A_{2} \bigtriangleup B_{2})$.
که این نیز نتیجه میدهد:
$$x \in (A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2} \bigtriangleup B_{2}) $$
اگر فرض کنیم که $ x \in (B_{1}\cap B_{2}) $
با استدلالی مشابه بالا به همین نتیجه خواهیم رسید. برای هر تعداد متناهی مجموعه هم این روش میتواند راهگشا باشد.
