Question

ثابت کنید که به ازای مجموعه های دلخواه A1, A2...An وB1,B2...Bn رابطه زیر برقرار است:

(A1∩…∩An)∆(B1∩…∩Bn)ϲ (A1∆B1)ꓴ…ꓴ(An∆Bn)

Comments

تایپ سوال را واضح کنید.

---

سوال واضحه کجاش اشکال داره؟

Answer 1

بنام خداوند بخشنده و مهربان

با توجه به این‌که صورت سوال به‌دقت نوشته نشده، ابتدا آن‌را بازنویسی می‌کنم.

سوال: برای مجموعه‌های دل‌خواه $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ و $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ و برای $n$ متناهی ثابت کنید:

$$( A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2}\cap...\cap B_{n})\subset ( A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup ( A_{2}\bigtriangleup B_{2}) \cup ... \cup ( A_{n}\bigtriangleup B_{n})$$

پاسخ: بدون کاستن از کلیت مسأله فرض می کنیم که $n=2$. با توجه به تعریف تفاضل متقارن دو مجموعه داریم:

$$( A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2})\subset (A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup ( A_{2}\bigtriangleup B_{2})$$ برای اثبات کافی است عضوی در مجموعه ی سمت چپ در نظر بگیریم و ثابت کنیم در مجموعه ی سمت راست قرار دارد. فرض می کنیم $x \in ( A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2})$ . با توجه به تعریف تفاضل متقارن مجموعه‌ها داریم: $$(A_{1}\cap A_{2})\bigtriangleup(B_{1}\cap B_{2}) = ( A_{1}\cap A_{2}) \cup (B_{1}\cap B_{2}) \setminus (A_{1}\cap A_{2})\cap( B_{1}\cap B_{2})$$ بنابراین $x \in (A_{1}\cap A_{2})$ یا $x \in (B_{1}\cap B_{2})$ و $x \notin (A_{1}\cap A_{2} \cap B_{1}\cap B_{2})$ فرض می‌کنیم $x \in (A_{1}\cap A_{2})$ بنابراین $x \in (A_{1} \bigtriangleup B_{1})$ یا $x \in (A_{2} \bigtriangleup B_{2})$. زیرا با توجه به این‌که $x \notin (A_{1}\cap A_{2} \cap B_{1}\cap B_{2})$ پس $x \notin B_{1}$ یا $x \notin B_{2}$.

اگر $x \notin B_{1}$ آن‌گاه

$$x \in (A_{1}\cup B_{1}) , x\notin (A_{1}\cap B_{1}) \Rightarrow x \in (A_{1}\bigtriangleup B_{1})$$ و اگر $x \notin B_{2}$ آن‌گاه با استدلالی مشابه خواهیم داشت: $x \in (A_{2} \bigtriangleup B_{2})$. که این نیز نتیجه می‌دهد: $$x \in (A_{1} \bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2} \bigtriangleup B_{2})$$ اگر فرض کنیم که $x \in (B_{1}\cap B_{2})$ با استدلالی مشابه بالا به همین نتیجه خواهیم رسید. برای هر تعداد متناهی مجموعه هم این روش می‌تواند راه‌گشا باشد.