با سلام
اول بیا تعریف کنیم خود دایره را :
مجموعه ای از نقاط که فاصله آن نقاط از یک نقطه ثابت ( واقع در همان صفحه ) برابر مقدار ثابتی است .
حالا دو نقطه از دایره رو در نظر بگیر بهم وصلشون کن طوری این خط از مرکز دایره بگذرد ( همان نقطه ایی که ثابت بود ) .
به این خط میگیم قطر دایره . حالا اگر در دایره قطر دایره رو بکشی دو قسمت ایجاد میشه که هرکدومشونو میگیم نیم دایره . پس هر نیم دایره گراف ( نمودار ) یک تابع میتوان تعریف کرد . طوری که فاصله همه نقاط آن از مرکز دایره مقدار ثابتی هست. تا این جا دو تا دو تابع داریم با نمودارشون . اما ضابطه شو نداریم .!
چگونه ضابطه رو بدست بیاوریم .؟ ابتدا مرکز نیم دایره رو در مبدا دستگاه دکارتی قرار میدیم . بعد با استفاده از ویژیگی که داشت یعنی فاصله نقاطشون از مرکز مقدار ثابت است بدست می آوریم . در نتیجه خواهیم داشت :
حالا که دو تا تابع داریم که ضابطه شونو داریم . با استفاده از انتگرال میتونیم مساحتشونو که پیدا کنیم به این صورت که :
برای نیم دایره ایی که در زیر محور ایکس هاس داریم :
$$ \int_{-a^2}^{a^2} -\sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2} $$
و برای نیم دایره ایی که در بالای محور ایکس هاس داریم :
$$ \int_{-a^2}^{a^2} \sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2}$$
