برطرف سازی یک ابهام در اثبات مساحت دایره با انتگرال و تعریف مساحت نگاشت

Question

باسلام.

من می‌خواستم با استفاده از انتگرال ثابت کنم مساحت دایره‌ای به شعاع 1 برابر با $\pi$ است.

بر طبق تعریف دایره باید مساحت $x^2 + y^2 = 1$ را محاسبه کنیم. پس می‌توانیم $y$ را بر حسب $x$ به‌دست آوریم. بر این اساس اگر $ y = \sqrt{1-x^2} $ نشان‌دهندۀ یک نیم‌دایره باشد، با محاسبۀ زیر می‌توان مساحت دایرۀ کامل را به‌دست آورد:

$$ 2\int^1_{-1}{\sqrt{1-x^2}dx} $$

ولی این اثبات دارای یک مشکل اساسی است. در به‌دست آوردن مکان هندسی دایره بر حسب $y$ اثبات نشده که تابع حاصل نیم‌دایره بوده و در نتیجه مساحت دایرۀ کامل دو برابر آن است.

سؤالم اینه که چگونه می‌توان ابهام یاد شده را برطرف کرد؟ آیا باید مکان هندسی نیم‌دایره‌ای به شعاع 1 را $y = \sqrt{1-x^2}$ تعریف کنیم و یا اینکه اصلاً مکان هندسی دایره را بر حسب $y$ محاسبه نکرده و در عوض تعریفی برای مساحت یک نگاشت مثل مکان هندسی دایره ارائه کنیم؟

Answer 1

با سلام

اول بیا تعریف کنیم خود دایره را :

مجموعه ای از نقاط که فاصله آن نقاط از یک نقطه ثابت ( واقع در همان صفحه ) برابر مقدار ثابتی است .

حالا دو نقطه از دایره رو در نظر بگیر بهم وصلشون کن طوری این خط از مرکز دایره بگذرد ( همان نقطه ایی که ثابت بود ) . به این خط میگیم قطر دایره . حالا اگر در دایره قطر دایره رو بکشی دو قسمت ایجاد میشه که هرکدومشونو میگیم نیم دایره . پس هر نیم دایره گراف ( نمودار ) یک تابع میتوان تعریف کرد . طوری که فاصله همه نقاط آن از مرکز دایره مقدار ثابتی هست. تا این جا دو تا دو تابع داریم با نمودارشون . اما ضابطه شو نداریم .! چگونه ضابطه رو بدست بیاوریم .؟ ابتدا مرکز نیم دایره رو در مبدا دستگاه دکارتی قرار میدیم . بعد با استفاده از ویژیگی که داشت یعنی فاصله نقاطشون از مرکز مقدار ثابت است بدست می آوریم . در نتیجه خواهیم داشت :

حالا که دو تا تابع داریم که ضابطه شونو داریم . با استفاده از انتگرال میتونیم مساحتشونو که پیدا کنیم به این صورت که :

برای نیم دایره ایی که در زیر محور ایکس هاس داریم :

$$ \int_{-a^2}^{a^2} -\sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2} $$

و برای نیم دایره ایی که در بالای محور ایکس هاس داریم :

$$ \int_{-a^2}^{a^2} \sqrt{a^2-x^2}dx =\dfrac{\pi a^2}{2}$$

Comments

@amirm20
انتگرال ها نباید از $-a$ تا $a$ باشند؟

---

بله بازه ها باید به مقدار شعاع دایره باشد.

Answer 2

تابع $x^2 + y^2 = 1$ در راستای محورهای x و y زوج است و دامنه انتگرال در این راستاها متقارن است پس می‌توانیم به جای محاسبه انتگرال تابع، انتگرال یک ناحیه (یک چهارم سطح) را محاسبه کنیم و جواب را در 4 ضرب کنیم.

$\int^1_{-1}{dA} = 4\int^1_0\sqrt{1-x^2}{dx}$