در مورد نرم ها

Question

فرض کنید $(X, || . || ) \Rightarrow M \leq X$ که Mبسته است .

$||x+M || = d(x,m)= inf \big\{||x-m|| : m \in M\big\}$ ثابت کنید یک نرم روی $\frac{X}{M}$ است.

Comments

لطفا سوال را واضح بپرسید. کسی که سوال رو میبینه نمیدونه $M$ یا$X$ چیه و نمیتونه با سوال ارتباط برقرار کنه.

Answer 1

برای اثبات نرم بودن کافی است سه مورد زیر ثابت شود

1. $\parallel x+M\parallel =0 \Longrightarrow x +M = M$: چون$\parallel x + M \parallel =0$ از تعریف گفته شده و خواص $inf$ نتیجه میشود که دنباله ی $\big\{ y_{n} \big\} \subseteq M$ موجود است چنانکه $\parallel x - y_{n}\parallel \to 0$ یعنی $y_{n} \longrightarrow x$ و چون طبق فرض$M$بسته است داریم $x \in M$ و این نیز ایجاب میکند که $x + M = M$.

2. $\parallel k(x + M) \parallel = \mid k \mid \parallel x + M \parallel$

   $$\begin{align} \parallel k(x + M) \parallel &= \parallel kx +M \parallel \\ &= inf \big\{ \parallel kx - y \parallel : y \in M\big\} \\ &= inf \big\{ \parallel k(x - \frac{y}{k} ) \parallel : y \in M \big\}\\ &= inf \big\{ \mid k \mid \parallel x- \frac{y}{k} \parallel : y \in M\big\}\\ &=\mid k \mid inf \big\{ \parallel x- \frac{y}{k} \parallel : y \in M\big\}\\ &= \mid k \mid inf \big\{ \parallel x- z \parallel : z \in M\big\} \\ &= \mid k \mid \parallel x+ M \parallel \end{align}$$ باید توجه داشت که چون $M$زیر فضای خطی است پس برای هر اسکالر $\alpha$ داریم$\alpha M=M$.

3. نامساوی مثلثی:$\parallel x+y+M \parallel \leq \parallel x+M \parallel + \parallel y+ M \parallel$

   $$\begin{align}\parallel x+ y +M \parallel &= inf \big\{\parallel x+y - z \parallel : z \in M\big\} \\ &=inf \big\{\parallel x+y - \frac{z}{2} - \frac{z}{2} \parallel : z \in M\big\}\\ & \leq inf \big\{\parallel x-\frac{z}{2} \parallel +\parallel y- \frac{z}{2}\parallel : z \in M\big\} \\ & \leq inf \big\{\parallel x-\frac{z}{2} \parallel : z \in M\big\} + inf \big\{\parallel y- \frac{z}{2}\parallel : z \in M\big\}\\ &= inf \big\{\parallel x- w\parallel : w \in M\big\} + inf \big\{\parallel y- w\parallel : w \in M\big\}\\ &= \parallel x+M \parallel + \parallel y+M \parallel\end{align}$$