به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
128 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید برای $ n=1,2,... $، $f_n=\{ {a_{1}}^{\{n\}}, {a_{2}}^{\{n\}},...\} $ دنباله ایی از اعداد مختلط باشند.

$ a$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ حقیقی و $0 \leq {a_{k}}^{\{n\}} \leq {a_{k}}^{\{n+1\}}$ برای هر $ k $ و $ n $ نشان دهید که: $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}= \sum_{k=1}^ \infty \lim_{n \rightarrow \infty } {a_{k}}^{\{n\}} $$ نشان دهید که اگر${a_{k}}^{\{n\}}$ را مختلط بگیریم همچنین $ lim_{n \rightarrow \infty }{a_{k}}^{\{n\}} $ برای هر $k$ موجود و $ \mid {a_{k}}^{\{n\}} \mid \leq b_{k} $ باشد برای هر $ k $ و $ n $. که در آن $ \sum_{k=1}^ \infty b_{k} < \infty $، نتیجه ایی مشابه خواهیم داشت. $ b$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ حقیقی و نامنفی باشد نشان دهید: $$\sum_{k=1}^ \infty\sum_{n=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}=\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}$$

$ c$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ مختلط و $\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty \mid {a_{k}}^{\{n\}} \mid < \infty $ نشان دهید که $\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}$ و $\sum_{k=1}^ \infty\sum_{n=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}} $ هر دو به یک عدد متناهی همگرا هستند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

قسمت اول پرسشتان در سوال دیگری پرسیده بودید که در اینجا کوپی میکنم:

قضیه همگرایی یکنوا: اگر $f_n:X\to [0,\infty]$ اندازه پذیر باشند و $$0\leq f_1\leq f_2\leq \cdots$$و $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$ در اینصورت$$\lim_{n\to \infty}\int f_nd\mu=\int fd\mu=\int\lim_{n\to \infty}d\mu$$

از طرفی هر سری $\sum_1^\infty a_k$ یک انتگرال نسبت به اندازه شمارشی $\mu$ روی $\mathbb N$ است. در واقع

اگر $f:\mathbb N\to [0,\infty]$ که $f(k)=a_k$ در اینصورت $\sum_1^\infty a_k=\int_{\mathbb N}fd\mu$

حال در سوال شما قرار دهید $f_n=(a_k^{(n)})_{k=1}^\infty$ و از قضیه بالا استفاده کنید.

برای قسمت دوم (a) سوال باید از قضیه همگرایی مغلوب استفاده کنید:

اگر $f_n\in L^1(X)$ و $f_n(x)\to f(x)$ تقریبا همه جا نقطه وار و $g\in L^1(X)$ موجود باشد به طوریکه تقریبا همه جا $|f_n|\leq g$ برای هر $n\in\mathbb N$ در اینصورت $f\in L^1(X)$ و $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f$$

برای قسمت (b) هم از قضیه زیر استفاده کنید:

اگر $f_n:X\to [0,\infty]$ اندازه پذیر باشند آنگاه $$\int(\sum_1^\infty f_n)d\mu=\sum_1^\infty \int f_n d\mu$$

برای قسمت (c) هم از قضیه ی زیر استفاده کنید:

اگر $f_n\in L^1(X)$ و $\sum_1^\infty \int |f_n|< \infty$ در اینصورت $$\int \sum_1^\infty f_n=\sum_1^\infty \int f_n$$

توجه: قضایای فوق همگی قضایای معروفی بوده و حتما در کتابی که داشتید اثبات شده است به عنوان مثال به کتاب آنالیزحقیقی فولند برای اثبات قضایای فوق رجوع کنید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...