سوالی از آنالیز حقیقیدر مورد تعویض دو سیگما

Question

فرض کنید برای $ n=1,2,... $، $f_n=\{ {a_{1}}^{\{n\}}, {a_{2}}^{\{n\}},...\} $ دنباله ایی از اعداد مختلط باشند.

$ a$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ حقیقی و $0 \leq {a_{k}}^{\{n\}} \leq {a_{k}}^{\{n+1\}}$ برای هر $ k $ و $ n $ نشان دهید که: $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}= \sum_{k=1}^ \infty \lim_{n \rightarrow \infty } {a_{k}}^{\{n\}} $$ نشان دهید که اگر${a_{k}}^{\{n\}}$ را مختلط بگیریم همچنین $ lim_{n \rightarrow \infty }{a_{k}}^{\{n\}} $ برای هر $k$ موجود و $ \mid {a_{k}}^{\{n\}} \mid \leq b_{k} $ باشد برای هر $ k $ و $ n $. که در آن $ \sum_{k=1}^ \infty b_{k} < \infty $، نتیجه ایی مشابه خواهیم داشت. $ b$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ حقیقی و نامنفی باشد نشان دهید: $$\sum_{k=1}^ \infty\sum_{n=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}=\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}$$

$ c$) اگر ${a_{k}}^{\{n\}}$ مختلط و $\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty \mid {a_{k}}^{\{n\}} \mid < \infty $ نشان دهید که $\sum_{n=1}^ \infty\sum_{k=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}}$ و $\sum_{k=1}^ \infty\sum_{n=1}^ \infty {a_{k}}^{\{n\}} $ هر دو به یک عدد متناهی همگرا هستند.

Answer 1

قسمت اول پرسشتان در سوال دیگری پرسیده بودید که در اینجا کوپی میکنم:

قضیه همگرایی یکنوا: اگر $f_n:X\to [0,\infty]$ اندازه پذیر باشند و $$0\leq f_1\leq f_2\leq \cdots$$و $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$ در اینصورت$$\lim_{n\to \infty}\int f_nd\mu=\int fd\mu=\int\lim_{n\to \infty}d\mu$$

از طرفی هر سری $\sum_1^\infty a_k$ یک انتگرال نسبت به اندازه شمارشی $\mu$ روی $\mathbb N$ است. در واقع

اگر $f:\mathbb N\to [0,\infty]$ که $f(k)=a_k$ در اینصورت $\sum_1^\infty a_k=\int_{\mathbb N}fd\mu$

حال در سوال شما قرار دهید $f_n=(a_k^{(n)})_{k=1}^\infty$ و از قضیه بالا استفاده کنید.

برای قسمت دوم (a) سوال باید از قضیه همگرایی مغلوب استفاده کنید:

اگر $f_n\in L^1(X)$ و $f_n(x)\to f(x)$ تقریبا همه جا نقطه وار و $g\in L^1(X)$ موجود باشد به طوریکه تقریبا همه جا $|f_n|\leq g$ برای هر $n\in\mathbb N$ در اینصورت $f\in L^1(X)$ و $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f$$

برای قسمت (b) هم از قضیه زیر استفاده کنید:

اگر $f_n:X\to [0,\infty]$ اندازه پذیر باشند آنگاه $$\int(\sum_1^\infty f_n)d\mu=\sum_1^\infty \int f_n d\mu$$

برای قسمت (c) هم از قضیه ی زیر استفاده کنید:

اگر $f_n\in L^1(X)$ و $\sum_1^\infty \int |f_n|< \infty$ در اینصورت $$\int \sum_1^\infty f_n=\sum_1^\infty \int f_n$$

توجه: قضایای فوق همگی قضایای معروفی بوده و حتما در کتابی که داشتید اثبات شده است به عنوان مثال به کتاب آنالیزحقیقی فولند برای اثبات قضایای فوق رجوع کنید.