به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
363 بازدید
در دانشگاه توسط Hanie77akrmi (44 امتیاز)

چرا در اثبات قضیه ریس-فیشر در فضاهای L^p نرم p تفریق دو عضو زیردنباله را کمتر از 1 / 2^n در نظر گرفتیم ؟

مرجع: Principles of real analysis- Aliprantis -chapter 5 -section 31
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
لطفا قضیه ریس-فیشر را بنویسید. همچنین تا جایی از اثبات را که متوجه نشدید باید بنویسید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط kazomano (2,523 امتیاز)
انتخاب شده توسط Hanie77akrmi
 
بهترین پاسخ

این به خاطر کوشی بودن دنباله $f_{n}$. برای $\epsilon=\frac{1}{2}$ وجود دارد $N_{1}$ به طوری که

$$ ||f_{m_{1}}-f_{m_{2}}||< \frac{1}{2}\hspace{2cm} \forall m_{1},m_{2}\ge N_{1}$$

به همین ترتیب وجود دارد $N_{2},N_{3}$ به طوری که $$ ||f_{m_{3}}-f_{m_{4}}||< \frac{1}{2^{2}}\hspace{2cm} \forall m_{3},m_{4}\ge N_{2}$$ $$ ||f_{m_{5}}-f_{m_{6}}||< \frac{1}{2^{3}}\hspace{2cm} \forall m_{5},m_{6}\ge N_{3}$$

حالا برای $m'_1,m'_2,m'_3,m'_4\geq\max\lbrace N_1,N_2,N_3\rbrace$ داریم

$$|| f_{m'_{2}}-f_{m'_{1}}||< \frac{1}{2}\hspace{1cm}, ||f_{m'_{3}}-f_{m'_{2}}||< \frac{1}{2^{2}}\hspace{1cm} ||f_{m'_{4}}-f_{m'_{3}}||< \frac{1}{2^{3}}\hspace{1cm} $$

قرار می دهیم $$m'_{1}=1,m'_{2}=2,m'_{3}=3,m'_{4}=4$$ داریم $$|| f_{2}-f_{1}||< \frac{1}{2}\hspace{1cm}, ||f_{3}-f_{2}||< \frac{1}{2^{2}}\hspace{1cm} ||f_{4}-f_{3}||< \frac{1}{2^{3}}\hspace{1cm} $$

این روند رو میتونیم ادامه بدیم. پس زیردنباله با خاصیت موردنظر رو به دست میاریم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...