این به خاطر کوشی بودن دنباله $f_{n}$. برای $\epsilon=\frac{1}{2}$ وجود دارد $N_{1}$ به طوری که
$$ ||f_{m_{1}}-f_{m_{2}}||<\frac{1}{2}\hspace{2cm} \forall m_{1},m_{2}\ge N_{1}$$
به همین ترتیب وجود دارد $N_{2},N_{3}$ به طوری که
$$ ||f_{m_{3}}-f_{m_{4}}||<\frac{1}{2^{2}}\hspace{2cm} \forall m_{3},m_{4}\ge N_{2}$$
$$ ||f_{m_{5}}-f_{m_{6}}||<\frac{1}{2^{3}}\hspace{2cm} \forall m_{5},m_{6}\ge N_{3}$$
حالا برای $m'_1,m'_2,m'_3,m'_4\geq\max\lbrace N_1,N_2,N_3\rbrace$ داریم
$$|| f_{m'_{2}}-f_{m'_{1}}||<\frac{1}{2}\hspace{1cm}, ||f_{m'_{3}}-f_{m'_{2}}||<\frac{1}{2^{2}}\hspace{1cm} ||f_{m'_{4}}-f_{m'_{3}}||<\frac{1}{2^{3}}\hspace{1cm} $$
قرار می دهیم
$$m'_{1}=1,m'_{2}=2,m'_{3}=3,m'_{4}=4$$
داریم
$$|| f_{2}-f_{1}||<\frac{1}{2}\hspace{1cm}, ||f_{3}-f_{2}||<\frac{1}{2^{2}}\hspace{1cm} ||f_{4}-f_{3}||<\frac{1}{2^{3}}\hspace{1cm} $$
این روند رو میتونیم ادامه بدیم. پس زیردنباله با خاصیت موردنظر رو به دست میاریم.
