سوالی از توزیع نرمال (طول عمر چیپ های کامپیوتری تولید شده توسط یک تولید کننده ..

Question

طول عمر چیپ های کامپیوتری تولید شده توسط یک تولید کننده معین نیمه هادی دارای توزیع نرمال با میانگین $۱.۴× ۱۰^{۶} $ ساعت و انحراف معیار $۳× ۱۰^{۵} $ ساعت است. اگر یک تولید کننده کامپیوتر احتیاج به این داشته باشد که در یک دسته بزرگ از چیپ ها حداقل ۹۰ درصد از آنها دارای طول عمر حداقل $۳.۸× ۱۰^{۶} $ باشد.

آیا باید با این کارخانه قرارداد ببندد.

چقدر احتمال دارد که یک دسته ۱۰۰ تایی از چیپ ها شامل حداقل ۲۰ چیپ باشد که طول عمرشان کمتر از $۴.۲× ۱۰^{۶} $ ساعت باشد؟ تلاش برای حل: برای قسمت اول رابطه ی $p (x>3.8× 10^{6}) \geq \frac{9}{10} $ را نوشتم و به $p (z < -4.665)< \frac{1}{10} $ رسیدم آیا درست عمل کردم یا نه؟

برای قسمت دوم ایده ای نداشتم

ممنون

Answer 1

برای بخش یکم تقریبا کل مسیر را درست رفته‌اید ولی در یک مطلب جزئی اشکال دارید. اینکه باید $P(x>3.8\times 10^6)$ را حساب کنید و آن را با کمک نرمال کردن و جدول نرمال بدست‌آوردن را درست گفته‌اید. اما اکنون برای نرمال کردن باید از از هر دو طرف یعنی $x$ و $3.8\times 10^6$ میانگین یعنی $1.4\times 10^6$ را کاسته و سپس حاصل را بر انحراف‌معیار یعنی $0.3\times 10^6$ تقسیم کنید یعنی احتمال‌تان برابر با $P(z>8)$ می‌شود که تقریبا صفر است. پس چون بزرگتر مساوی $0.9$ یا همان ۹۰٪ نشد، پاسخ بخش یک این است که «خیر، این تولیدکننده نباید با این کارخانه قرارداد ببندد». البته من پرسش را که دیدم تعجب کردم، توان ده در عدد خواسته‌شده بوسیلهٔ تولیدکنندهٔ رایانه می‌توانست به جای ۶، ۵ باشد. چون چشم بسته بدون محاسبه از اینکه عددی که خواسته‌اند از میانگین طول عمر چیپ‌های این کارخانه بزرگتر است پس مطمئنا کمتر از ۵۰٪ تولیدات این کارخانه می‌توانند عمر کافی داشته‌باشند.

در مورد بخش دوم. اگر به جای دست‌کم ۲۰ چیپ از ۱۰۰ چیپ، پرسش گفته‌بود احتمال اینکه یک چیپ کمتر از مقدار x زمان عمر کند چه می‌کردیم؟ احتمال را از روی نمودار (تبدیل به نرمال و سپس جدول توزیع) پیدا می‌کردیم. اگر می‌گفت دو چیپ، می‌گفتیم چون عمر چیپ‌ها از هم مستقل هستند پس احتمال‌های یافته را در هم ضرب می‌کردیم. اگر می‌گفت دو چیپ کمتر از x و یک چیپ دلخواه آنگاه دو چیپ نخست عدد یافت شده و چیپ سوم عدد یک و سپس در هم ضرب می‌کردیم. اکنون که می‌گوید دست‌کم ۲۰ تا از ۱۰۰ تا پس جمعِ روی i که i از ۲۰ تا ۱۰۰ تغییر می‌کند از احتمال اینکه i چیپ کمتر از x عمر کنند و سایر چیپ‌ها عمر دلخواه، مطلوب ما می‌شود. اما باز برای من این عدد هم عجیب است چون چشم‌بسته می‌توان گفت با احتمال تقریبا یک در یک بستهٔ ۱۰۰ تایی از این چیپ‌ها هر ۱۰۰ چیپ از $4.2\times 10^6$ ساعت کمتر عمر می‌کنند. پس به طبع دست‌کم ۲۰ تا نیز تقریبا یک است.

Comments

سلام
خیلی ممنون از جواب کامل تون
اعداد درست هستند(بنده درست تایپ کردم) ولی حق با شماست اعداد خوبی انتخاب نشده اند