به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
37 بازدید
در دانشگاه توسط Amir5755776
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید متغیر تصادفی $X$ دارای توزیع لُگاریتم-نرمال با تابع چگالی زیر باشد. مُد توزیع $X$ را بدست بیاورید. $$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x)^2}{2}}$$

توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
@Amir5755776 چرا تایپ ریاضی نمی‌کنید؟
یعنی پرسش‌تان برایتان انقدر ارزش ندارد که برای نوشتنش چند لحظه زمان بیشتری بگذارید. یک پرسش دیگرتان نیز مشکل داشته و بسته‌شده‌بوده‌است را نیز به امان خدا رها کرده‌اید به جای ویرایش!
https://math.irancircle.com/14507/%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B3%D8%A8%D9%87-%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D9%85%D9%88%D9%84%D8%AF-%DA%AF%D8%B4%D8%AA%D8%A7%D9%88%D8%B1-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%D8%AA%D9%88%D8%B2%DB%8C%D8%B9-%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%DB%8C

در پرانتزگذاری هم اشتباه داشتید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

تابع توزیع چگالی یک متغیر تصادفی با توزیع لگاریتم-نرمال log-normal با پارامترهای $\mu$ و $\sigma$ (که میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفیِ نرمالی است که این متغیر تصادفیِ جدید، لگاریتمِ آن است) برابر است با $$\dfrac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ با مقایسهٔ تابع توزیع چگالی‌ای که در پرسش داده‌شده با شکل کلی، مشخص است که پارامترها برای متغیرتصادفی پرسش برابر هستند با $\mu=0,\sigma^2=1$. به یاد آورید که مُد یک متغیر تصادفی، داده با بیشترین فراوانی نسبی (چگالی) است. اگر به نمودار توزیع چگالی یک متغیر تصادفی لگاریتم-نرمال نگاه کرده‌باشید تنها یک بیشینهٔ مطلق دارد که نمودار در حولش پیوسته و مشتق‌پذیر است. پس کافیست از تابع توزیع چگالی مشتق گرفته و ریشه‌اش را بیابیم. $$\begin{array}{ll}f'(x)=0 & \Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{-1}{x^2}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}+\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{-2(\ln x-\mu)\frac{1}{x}}{2\sigma^2}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}=0\\ &\Longrightarrow \frac{-1}{x^2\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(1+\frac{\ln x-\mu}{\sigma^2})=0\\ & \Longrightarrow 1+\frac{\ln x-\mu}{\sigma^2}=0\\ & \Longrightarrow \frac{\sigma^2+\ln x-\mu}{\sigma^2}=0\\ & \Longrightarrow \ln x=\mu-\sigma^2\\ & \Longrightarrow x=e^{\mu-\sigma^2}\end{array}$$ اکنون تنها یک جایگذاری نیاز دارید. مُدِ توزیع داده‌شده $e^{0-1}=\frac{1}{e}$ است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...