تابع توزیع چگالی یک متغیر تصادفی با توزیع لگاریتم-نرمال log-normal با پارامترهای $\mu$ و $\sigma$ (که میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفیِ نرمالی است که این متغیر تصادفیِ جدید، لگاریتمِ آن است) برابر است با
$$\dfrac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
با مقایسهٔ تابع توزیع چگالیای که در پرسش دادهشده با شکل کلی، مشخص است که پارامترها برای متغیرتصادفی پرسش برابر هستند با $\mu=0,\sigma^2=1$. به یاد آورید که مُد یک متغیر تصادفی، داده با بیشترین فراوانی نسبی (چگالی) است. اگر به نمودار توزیع چگالی یک متغیر تصادفی لگاریتم-نرمال نگاه کردهباشید تنها یک بیشینهٔ مطلق دارد که نمودار در حولش پیوسته و مشتقپذیر است. پس کافیست از تابع توزیع چگالی مشتق گرفته و ریشهاش را بیابیم.
$$\begin{array}{ll}f'(x)=0 & \Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{-1}{x^2}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}+\frac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{-2(\ln x-\mu)\frac{1}{x}}{2\sigma^2}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}=0\\
&\Longrightarrow \frac{-1}{x^2\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(1+\frac{\ln x-\mu}{\sigma^2})=0\\
& \Longrightarrow 1+\frac{\ln x-\mu}{\sigma^2}=0\\
& \Longrightarrow \frac{\sigma^2+\ln x-\mu}{\sigma^2}=0\\
& \Longrightarrow \ln x=\mu-\sigma^2\\
& \Longrightarrow x=e^{\mu-\sigma^2}\end{array}$$
اکنون تنها یک جایگذاری نیاز دارید. مُدِ توزیع دادهشده $e^{0-1}=\frac{1}{e}$ است.
